Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，BD⊥MN 于D，CE⊥MN于E.

（1）求證：BD=AE.

（2）若將MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使MN與BC相交于點(diǎn)G(如圖2)，其他條件不變，求證：BD=AE.

（3）在(2)的情況下，若CE的延長(zhǎng)線過(guò)AB的中點(diǎn)F（如圖3），連接GF，求證：∠AFE=∠BFG.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解；（3）證明見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）首先證明∠1=∠3，再證明△ADB≌△CEA，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD=AE；

（2）首先證明∠BAD=∠ACE，再證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=AE；

（3）首先證明△ACF≌△BAP，然后再證明△BFG≌△BPG，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BPG=∠BFG，再根據(jù)等量代換可得結(jié)論∠BFG=∠AFE．

證明：（1）如圖，

∵BD⊥MN，CE⊥MN，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠1+∠2=90°，

又∵∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

在△ADB和△CEA中，，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴BD=AE；

（2）如圖，

∵BD⊥MN，CE⊥MN，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAD+∠CAE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，

∴∠BAD=∠ACE，

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE；

（3）過(guò)B作BP∥AC交MN于P，

∵BP∥AC，

∴∠PBA+∠BAC=180°，

∵∠BAC=90°，

∴∠PBA=∠BAC=90°，

由（2）得：∠BAP=∠ACF，

∴在△ACF和△BAP中，

∴△ACF≌△BAP（ASA），

∴∠AFC=∠BPA，AF=BP

∵BF=AF，

∴BF=BP，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

又∵∠PBA=90°，

∴∠PBG=45°，

∴∠ABC=∠PBG，

在△BFG和△BPG中，

∴△BFG≌△BPG（SAS），

∴∠BPG=∠BFG，

∵∠BPG=∠AFE，

∴∠BFG=∠AFE．