Question

（本題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6, 6)，以A為頂點(diǎn)的∠BAC的兩邊始終與x軸交于B、C兩點(diǎn)（B在C左面），且∠BAC=45°.

（1）如圖，連接OA，當(dāng)AB=AC時(shí)，試說明：OA=OB.

（2）過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，當(dāng)DC=2時(shí)，將∠BAC沿AC所在直線翻折，翻折后邊AB交y軸于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

(1)見解析；(2)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3)或M點(diǎn)坐標(biāo)為(0，—6).

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)題目中角的度數(shù)，求出∠BAO=∠ABC=67.5°，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)題意，可知要分兩種情況，即當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)或當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，利用勾股定理即可得出M點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：

（1）∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB= 67.5°.

過點(diǎn)A作AE⊥OB于E，則△AEO是等腰直角三角形，∠EAO=45°.

∵AB=AC，AE⊥OB，

∴∠BAE=∠BAC=22.5°.

∴∠BAO=67.5°=∠ABC

∴OA=OB，

（2）設(shè)OM=x.

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，連接CM，過點(diǎn)A作AF⊥y軸于點(diǎn)F，

由∠BAM=∠DAF=90°可知：∠BAD=∠MAF；

∵AD=AF=6，∠BDA=∠MFA=90°，

∴△BAD≌△MAF.

∴BD=FM=6—x.

∵AC=AC，∠BAC=∠MAC，

∴△BAC≌△MAC.

∴BC=CM=8—x.

在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2=CM2，即，

解得：x=3，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）.

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，連接CM，過點(diǎn)A作AF⊥y軸于點(diǎn)F，

同理，△BAD≌△MAF，∴BD=FM=6+x.

同理，△BAC≌△MAC，∴BC=CM=4+x.

在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2=CM2，即，

解得：x=6，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，—6）

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；翻折的性質(zhì).