【答案】
分析:(1)根據(jù)直線AC的解析式,可得到A、C的坐標(biāo),進(jìn)而利用勾股定理求得線段AC的長.
(2)①根據(jù)A、C的坐標(biāo),可利用待定系數(shù)法確定該拋物線的解析式,然后用m表示出平移后的直線解析式,由(1)知△OAC是等腰直角三角形,若△CAD是以AC為底的等腰三角形,那么點(diǎn)D必為線段CA的垂直平分線與x軸的交點(diǎn),即D、O重合,由此求得m的值,進(jìn)而可確定平移后的直線解析式,聯(lián)立拋物線的解析式,即可求得N點(diǎn)的坐標(biāo).
②此題應(yīng)分兩種情況考慮:
1)當(dāng)D在B點(diǎn)左側(cè)時(shí),即0<m≤6時(shí);過E作EF⊥x軸于F,根據(jù)拋物線和平移后的直線解析式,可得到B、D的坐標(biāo),進(jìn)而可求得BD、BA的長,由于平移前后的直線互相平行,則可證得△BDE∽△BAC,因此BD:BA=EF:OC,由此可求得EF的表達(dá)式,進(jìn)而可求出△BDC和△BDE的面積,那么兩個(gè)三角形的面積差即為△CDE的面積,由此可得關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出S是否具有最大值以及對應(yīng)的m的值;
2)當(dāng)D在B點(diǎn)右側(cè)時(shí),即m>6時(shí),方法同上.
解答:解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=4,
∴C(0,4)(1分)
當(dāng)y=0時(shí),x=-4,
∴A(-4,0)(2分)
在Rt△AOC中,OA=OC=4,∠AOC=90°,
∴AC=
.(3分)
(2)①拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C,則:
,
解得
;
∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為
;(4分)
∵△CAD是以AC為底的等腰三角形,
∴點(diǎn)D在AC的垂直平分線上,
此時(shí)點(diǎn)D與原點(diǎn)重合,即D(0,0),(5分)
∴m=OC=4;
則平移后的直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x,(6分)
∵點(diǎn)N是拋物線
與直線y=x的交點(diǎn),
∴設(shè)點(diǎn)N(a,a),
則
,
解得a=
;
∵點(diǎn)N在拋物線對稱軸的左側(cè),
∴N(
,
);(7分)
②設(shè)△CDE的面積為S,
在
中,令y=0,
解得x=-4或x=2,
∴B(2,0),AB=6,
當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí),即當(dāng)0<m≤6時(shí)(如圖),
平移后的直線為y=x+4-m,
當(dāng)y=0時(shí),x=m-4.
∴D(m-4,0),
∴BD=2-(m-4)=6-m;(8分)
過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F,
由DE∥AC,得∠BDE=∠CAD,
∴△BDE∽△BAC,
∴
,∴
,
解得
;(9分)
∴
=
;
∴拋物線的開口向下,對稱軸為直線m=3,
∵頂點(diǎn)(3,3)的橫坐標(biāo)在范圍0<m≤6內(nèi),
∴當(dāng)m=3,S有最大值為3;(10分)
當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí),即當(dāng)m>6時(shí)(如圖),
平移后的直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x+4-m,
當(dāng)y=0時(shí),x=m-4,
∴D(m-4,0),
∴BD=m-4-2=m-6;
過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G,
由DE∥AC,得∠BDE=∠CAD,
∴△BDE∽△BAC,
∴
,∴
,
解得
;(11分)
∴
=
;
∴拋物線開口向上,對稱軸為m=3,
∵在拋物線對稱軸的右側(cè),S隨著m的增大而增大,
∴當(dāng)m>6時(shí),S沒有最大值;(12分)
綜上得,在直線AC平移的過程中,存在m值,當(dāng)m=3,S有最大值為3,使得△CDE的面積最大.(13分)
點(diǎn)評:此題考查的知識點(diǎn)有:勾股定理、二次函數(shù)解析的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的求法等重要知識;在求圖形面積的最大(。﹩栴}時(shí),將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題是常用的方法.