Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=﹣x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A（3，0），B（m，m+1），且與y軸相交于點C．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式并寫出其圖象頂點D的坐標(biāo)；
（2）求∠CAD的正弦值；
（3）設(shè)點P在線段DC的延長線上，且∠PAO=∠CAD，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數(shù)y=﹣x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A（3，0），B（m，m+1），

∴ ，

解得 ，

∴二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2+2x+3，頂點D的坐標(biāo)為（1，4）

（2）解：如圖所示，

在y=﹣x2+2x+3中，當(dāng)x=0時，y=3，

∴C（0，3）

∵A（3，0），D（1，4），

∴CD= ，AC=3 ，AD=2 ，

∴CD2+AC2=AD2，

∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，

∴sin∠ACD= = =

（3）解：∵直線CD經(jīng)過C（0，3），D（1，4），

∴設(shè)可設(shè)直線CD為y=kx+b，則

，

解得 ，

∴直線CD為y=x+3，

設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，a+3），

①如圖所示，當(dāng)點P在x軸上方時，過點P作PE⊥x軸于E，則

PE=a+3，AE=3﹣a，

∵∠AEP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，

∴△ACD∽△AEP，

∴ = ，即 = ，

解得a=﹣ ，

∴a+3= ，

∴此時P的坐標(biāo)為（﹣ ， ）；

②如圖所示，當(dāng)點P在x軸下方時，過點P作PF⊥x軸于F，則

PF=﹣（a+3），AF=3﹣a，

∵∠AFP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，

∴△ACD∽△AFP，

∴ = ，即 = ，

解得a=﹣6，

∴a+3=﹣3，

∴此時P的坐標(biāo)為（﹣6，﹣3）；

綜上所述，點P的坐標(biāo)為

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)y=﹣x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A（3，0），B（m，m+1），求得m和n的值即可；（2）根據(jù)A，C，D三點的坐標(biāo)，求得CD= ，AC=3 ，AD=2 ，得到CD2+AC2=AD2 ， 根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，據(jù)此求得∠CAD的正弦值；（3）先求得直線CD為y=x+3，再設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，a+3），然后分兩種情況進行討論：當(dāng)點P在x軸上方時，過點P作PE⊥x軸于E；當(dāng)點P在x軸下方時，過點P作PF⊥x軸于F，分別判定△ACD∽△AEP，△ACD∽△AFP，列出比例式求得a的值即可．
【考點精析】掌握勾股定理的逆定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道如果三角形的三邊長a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．