Question

如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，BD=CD，AD⊥AC于點(diǎn)A，∠BAD=30°．
（1）求證：AC=

1

2

AB；
（2）當(dāng)AB=4，AD=

3

時(shí)，求S_△ABD．

Answer 1

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△EBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=AC，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠E=∠CAD，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半證明；
（2）求出BE，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：如圖，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，
在△ACD和△EBD中，

AD=DE ∠ADC=∠EDB BD=CD

，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE=AC，∠E=∠CAD=90°，
∵∠BAD=30°，
∴BE=

1

2

AB，
∴AC=

1

2

AB；

（2）解：∵AB=4，
∴BE=

1

2

×4=2，
∴S_△ABD=

1

2

AD•BE=

1

2

×

3

×=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，“遇中線，加倍延”作輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．