Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖）中，已知A（-1，3），B（2，n）兩點(diǎn)在二次函數(shù)y=-

1

3

x²+bx+4的圖象上．
（1）求b與n的值
（2）聯(lián)結(jié)OA、OB、AB，求△AOB的面積；
（3）若點(diǎn)P（不與點(diǎn)A重合）在題目中給出的二次函數(shù)的圖象上，且∠POB=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)A、B兩點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可將將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求出b和n的值；
（2）過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，可求出梯形ODEB的面積，然后求出△AEB和△ADO的面積，相減即可求出△AOB的面積；
（3）求證△AOB為直角三角形，過P點(diǎn)作PH⊥x軸，垂足為H，根據(jù)∠POB=45°，求出∠OAD的度數(shù)，然后設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入到函數(shù)中，即可求出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-1，3）在二次函數(shù)y=-

1

3

x²+bx+4的圖象上，
∴3=-

1

3

(-1)2-b+4，解得b=

2

3

；
∴二次函數(shù)y=-

1

3

x2+

2

3

x+4
∵B（2，n）兩點(diǎn)在二次函數(shù)y=-

1

3

x²+

2

3

x+4的圖象上
∴n=-

1

3

×4+

2

3

×2+4
即n=4．

（2）過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，如圖①所示，

由題意可知OD=1，AD=3，BE=1+2=3，ED=4，AE=4-3=1，
∴梯形ODEB的面積為
SODEB=

1

2

(OD+BE)•DE=

1

2

×4×4=8
∵S△ADO=

1

2

AD•DO=

1

2

×3×1=

3

2

S△AEB=

1

2

AE•BE=

1

2

×1×3=

3

2

∴S_△AOB=S_梯形ODEB-S_△ADO-S_△AEB=8-

3

2

-

3

2

=5．
∴△AOB的面積為5．

（3）∵AO=

AD2+OD2

=

9+1

=

10

AB=

AE2+BE2

=

9+1

=

10

OB=

22+42

=

20

∴AO²+AB²=10+10=20=OB²
∴△AOB為等腰直角三角形，且∠BAO=90°，∠AOB=∠ABO=45°
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，且∠POB=45°
∴∠AOP=∠AOB+∠POB=90°
過P點(diǎn)作PH⊥x軸，垂足為H，如圖②所示，
∵∠POH+∠AOD=90°∠OAD+∠AOD=90°
∴∠POH=∠OAD
∴

PH

OH

=tan∠POH=tan∠OAD=

OD

AD

=

1

3

設(shè)PH=k，則OH=3k，P點(diǎn)坐標(biāo)為（3k，k）
將P點(diǎn)（3k，k）代入二次函數(shù)y=-

1

3

x²+

2

3

x+4
得k=-

1

3

(3k)2+

2

3

•3k+4
整理得，3k²-k+4=0
解關(guān)于k的方程得，k=-1，k=

4

3

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-1）或（4，

4

3

）
經(jīng)檢驗(yàn)（-3，-1）不符合題意舍去，故所求P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是中考?jí)狠S題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一點(diǎn)的難度．