Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△ABC的直角頂點C在拋物線y=ax²+bx上運動，斜邊AB垂直于y軸，且AB=4，∠CAB=60°．當(dāng)Rt△ABC的斜邊AB落在x軸上時，點A坐標(biāo)是（-

3

2

，0），B點恰在拋物線y=ax²+bx上．
（1）求AB邊上的高線CD的長；
（2）求拋物線解析式；
（3）Rt△ABC在運動過程中有可能被y軸分成兩部分，當(dāng)左右兩部分的面積相等時，求頂點C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B=∠ACD=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC、AD，再利用勾股定理列式計算即可得解；
（2）根據(jù)點A的坐標(biāo)和AB的長度求出點B的坐標(biāo)，再求出點C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（3）設(shè)AB、BC與y軸的交點分別為E、F，然后利用三角形的面積求出BE，再表示出DE，從而得到點C的橫坐標(biāo)，再根據(jù)點C在拋物線上，把點C的橫坐標(biāo)代入拋物線求解得到點C的縱坐標(biāo)即可得解．

解答：解：（1）∵∠CAB=60°，CD是斜邊AB上的高，
∴∠B=∠ACD=90°-60°=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
AD=

1

2

AC=

1

2

×2=1，
在Rt△ACD中，CD=

AC2-AD2

=

22-12

=

3

；

（2）∵點A坐標(biāo)是（-

3

2

，0），AB=4，
∴點B的坐標(biāo)為（

5

2

，0），
點C的橫坐標(biāo)為-（

3

2

-1）=-

1

2

，
∴點C的坐標(biāo)為（-

1

2

，

3

），
∵點B（

5

2

，0），C（-

1

2

，

3

）都在拋物線y=ax²+bx上，
∴

25 4 a+ 5 2 b=0 1 4 a- 1 2 b= 3

，
解得

a= 2 3 3 b=- 5 3 3

，
所以，拋物線解析式為y=

2 3

3

x²-

5 3

3

x；

（3）如圖，設(shè)AB、BC與y軸的交點分別為E、F，
則EF=BE•tanB=

3

3

BE，
∵Rt△ABC被y軸分成兩部分，
∴

1

2

BE•EF=

1

2

×

1

2

AB•CD，
即

1

2

BE•

3

3

BE=

1

2

×

1

2

×4×

3

，
解得BE=

6

，
又∵BD=AB-AD=4-1=3，
∴點C的橫坐標(biāo)為-（3-

6

）=-3+

6

，
∵點C在拋物線y=

2 3

3

x²-

5 3

3

x上，
∴y=

2 3

3

×（-3+

6

）²-

5 3

3

×（-3+

6

），
=

2 3

3

×（9-6

6

+6）+5

3

-5

2

，
=10

3

-12

2

+5

3

-5

2

，
=15

3

-17

2

，
所以，點C的坐標(biāo)為（-3+

6

，15

3

-17

2

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，（2）表示出點C的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，（3）難點在于利用三角形的面積求出點B到y(tǒng)軸的距離，即BE的長度．