Question

如圖，直線y=kx+c與拋物線y=ax²+bx+c的圖象都經(jīng)過y軸上的D點(diǎn)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其對稱軸為直線x=1，且OA=OD，直線y=kx+c與x軸交于點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)），則下列命題中正確命題的個數(shù)是（　�。�
①abc＞0；②3a+c＞0；③-1＜k＜0；④a+b＜k；⑤0＜ac+k＜1．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：根據(jù)拋物線的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．由拋物線的開口判斷a的符號；由對稱軸判斷b及b與2a的關(guān)系；還可由圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)判斷．

解答：解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0．
∵拋物線對稱軸是x=1，
∴b＜0且b=-2a．
∵拋物線與y軸交于正半軸，
∴c＞0．
∴①abc＞0錯誤；②3a+c＞0正確；
∵直線y=kx+c經(jīng)過一、二、四象限，
∴k＜0．
∵OA=OD，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（c，0）．
直線y=kx+c當(dāng)x=c時，y＞0，
∴kc+c＞0可得k＞-1．
∴③-1＜k＜0正確；
∵直線y=kx+c與拋物線y=ax²+bx+c的圖象有兩個交點(diǎn)
∴ax²+bx+c=kx+c，
得x₁=0，x₂=

k-b

a

．
由圖象知x₂＞1，
∴

k-b

a

＞1
∴k＞a+b
∴④a+b＜k正確；
∵

2a+b=0 c(ac+b+1)=0

，
∴2a-ac=1．
∴ac=2a-1，
∵-1＜k＜0，
∴⑤令ax²+bx+c=kx+c，
∴ax+b=k，
∵b=-2a，
∴x=

k+2a

a

．
∵交點(diǎn)在B（2-c，0）右邊，
∴

k+2a

a

＞2-c，
∴k+2a＞2a-ac，
∴ac+k＞0，
∵c＜1，
∴ac＜1．
∵-1＜k＜0，故正確．
故選D

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)的性質(zhì)是本題的重點(diǎn)．