Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對角線AC上，點(diǎn)F在邊BC上，連接BE、DF，DF交對角線AC于點(diǎn)G，且DE＝DG．

（1）求證：AE＝CG；

（2）試判斷BE和DF的位置關(guān)系，并說明理由.

 

Answer 1

解：（1）證明：在正方形ABCD中，

∵AD＝CD，

∴∠DAE＝∠DCG，

∵DE＝DG， ∴∠DEG＝∠DGE，

∴∠AED＝∠CGD．

在△AED和△CGD中，

∵∠DAE＝∠DCG，∠AED＝∠CGD，DE＝DG，

∴△AED≌△CGD，

∴AE＝CG．                                                                                                   4分

（2）解法一：BE∥DF，理由如下：

在正方形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，

∴∠BAE＝∠DCG．

又∵AE＝CG，

∴△AEB≌△CGD，

∴∠AEB＝∠CGD．

∵∠CGD＝∠EGF，

∴∠AEB＝∠EGF，

∴ BE∥DF．                                                                                                  9分

解法二：BE∥DF，理由如下：

在正方形ABCD中，

∵AD∥FC，

∴＝．

∵CG＝AE,

∴AG＝CE．

又∵在正方形ABCD中，AD＝CB，

∴＝．

又∵∠GCF＝∠ECB，

∴△CGF∽△CEB，

∴∠CGF＝∠CEB，

∴ BE∥DF．                                                                                                  9分