Question

已知：如圖，在直角坐標(biāo)系中，有菱形OABC，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），對(duì)角線OB、AC相交于D點(diǎn)，雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，且OB•AC=160，有下列四個(gè)結(jié)論：①菱形OABC的面積為80；②E點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，8）；③雙曲線的解析式為y=

40

x

（x＞0）；④AC+OB=12

5

．其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：作DH⊥x軸于H，BG⊥x軸于G，根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半得到菱形OABC的面積=

1

2

OB•AC=

1

2

×160=80；則△ODA的面積為20，根據(jù)三角形面積公式可計(jì)算出DA=4，再根據(jù)菱形的性質(zhì)易得DH為△OBG的中位線，則BG=8，所以E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8；接著證明Rt△DOH∽R(shí)t△ADH，得到DH²=OH•AH，由于DH=4，AH=10-OH，則OH（10-OH）=16，解得OH=8或OH=2（舍去），可確定D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4），利用待定系數(shù)法得到反比例函數(shù)解析式為y=

32

x

；同時(shí)可確定E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8）；根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出AC的長(zhǎng)，由OB•AC=160即可求出OB的長(zhǎng)．

解答：解：作DH⊥x軸于H，BG⊥x軸于G，如圖，
∵四邊形OABC為菱形，
∴菱形OABC的面積=

1

2

OB•AC=

1

2

×160=80，所以①正確；
∴

1

2

DH•OA=菱形OABC的面積的

1

4

=

1

4

×80，
而A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），
∴

1

2

DH×10=

1

4

×80，
∴DH=4，
∵OB與AC互相垂直平分，
∴∠ADO=90°，DH為△OBG的中位線，
∴BG=2DH=8，
∴E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，
∵∠DOH+∠ODH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠DOH=∠ADH，
∴Rt△DOH∽R(shí)t△ADH，
∴DH：AH=OH：DH，即DH²=OH•AH，
∵DH=4，AH=OA-OH=10-OH，
∴OH（10-OH）=16，解得OH=8或OH=2（舍去），
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4），
把D（8，4）代入y=

k

x

得k=4×8=32，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

32

x

，所以③錯(cuò)誤；
把y=8代入得

32

x

=8，解得x=4，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），所以②正確；
∵A（10，0），C（6，8），
∴AC=

(10-6)2+(0-8)2

=4

5

，
∵OB•AC=160，
∴OB=

160

AC

=

160

4 5

=8

5

，
∴AC+OB=4

5

+8

5

=12

5

，故④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其函數(shù)解析式；熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)、相似三角形的相似比和勾股定理進(jìn)行計(jì)算．