Question

如圖，一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于點A，點B（3，0）是x軸正半軸上一點，S_△OAB=3．
（1）求A點的坐標和k的值；
（2）點C是雙曲線（x＞0）圖象上一動點，過點C做x軸的平行線，與y=x的圖象交于點D，是否存在以點O、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點C的坐標；
（3）點P是x軸上一點，若能得到以點O、P、C、D為頂點的四邊形為等腰梯形，請直接寫出點P橫坐標的范圍．

Answer 1

解：（1）過點A作AH⊥OB，

由題意得，S_△OBA=×OB×AH=3，
∵OB=3，
∴AH=2，
∵點A在函數(shù)y=x的圖象上，
∴點A為（2，2），
把點A代入中，可得2=，
解得：k=4．
即點A的坐標為（2，2），k的值為4．
（2）設(shè)點C的坐標為，則點D的縱坐標和點C的縱坐標相同，可得D（a，a），
分兩種情況：
①點C、D在點A下方時：，
若四邊形OBCD為平行四邊形，CD=OB=3，
即，整理得：a²+3a-4=0，
解得：a₁=-4（舍），a₂=1，
即C（4，1）．
②點C、D在點A上方時：，
若四邊形OBDC為平行四邊形，CD=OB=3，
即，整理得：a²-3a-4=0，
解得：a₁=4（舍），a₂=-1（舍），
即C（1，4）．
（3）①當點C的坐標為（4，1），點D坐標為（1，1）時，要使O、P、C、D為頂點的四邊形為等腰梯形，
則點P的橫坐標應(yīng)大于點C的橫坐標：P_橫＞4；
②當點C的坐標為（1，4），點D坐標為（4，4）時，要使O、P、C、D為頂點的四邊形為等腰梯形，
則點P的橫坐標應(yīng)大于點D的橫坐標：P_橫＞4；
綜上可得點P的橫坐標大于4．
分析：（1）過點A作AH⊥OB，根據(jù)△OAB的面積可得出點A的坐標，代入函數(shù)解析式可得出k的值．
（2）設(shè)點C的坐標為（，a），則可得點D的坐標為（a，a），分兩種情況討論，①點C、D在點A下方時，②點C、D在點A上方時，根據(jù)CD=OB可得出關(guān)于a的方程，解出即可．
（3）根據(jù)（2）求得的點C及點D坐標，結(jié)合梯形的性質(zhì)即可得出點P的橫坐標的范圍．
點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積及梯形的知識，解答本題的關(guān)鍵在于求出k的值，另外要求我們掌握梯形的特點及平行四邊形的性質(zhì)，難度適當．