【題目】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和⊙M(半徑為r),給出如下定義:若點P關(guān)于點M的對稱點為Q,且rPQ≤3r,則稱點P為⊙M的稱心點.

1)當(dāng)⊙O的半徑為2時,

①如圖1,在點A0,1),B2,0),C3,4)中,⊙O的稱心點是   ;

②如圖2,點D在直線yx上,若點D是⊙O的稱心點,求點D的橫坐標(biāo)m的取值范圍;

2)⊙T的圓心為T0,t),半徑為2,直線yx+1x軸,y軸分別交于點E,F.若線段EF上的所有點都是⊙T的稱心點,直接寫出t的取值范圍.

【答案】(1)A,B;mm;(2) 2≤t≤12≤t

【解析】

1)①先求出點A,B,C關(guān)于點O的對稱點A'B',C'進(jìn)而求出AA'BB',CC',再判斷即可得出結(jié)論;
②先求出點D的坐標(biāo),再利用新定義建立不等式求解即可得出結(jié)論;
2)先求出點E,F坐標(biāo),進(jìn)而求出∠EFO=60°,進(jìn)而找出y軸上到線段EF的距離為2時的位置,再分情況利用新定義,即可得出結(jié)論.

1)①∵A0,1),

∴點A關(guān)于點O的對稱點為A'0,﹣1),

AA'1﹣(﹣1)=2,

∵⊙O的半徑為2

∴點A是⊙O的稱心點,

B20),

∴點B關(guān)于點O的對稱點為B'(﹣2,0),

BB'2﹣(﹣2)=4,

∵⊙O的半徑為2,

2BB'6

∴點B是⊙O的稱心點,

C3,4),

∴點C關(guān)于點O的對稱點為C'(﹣3,﹣4),

CC'253r

∴點C不是⊙O的稱心點,

故答案為:點AB;

②∵點D在直線yx上,且點D的橫坐標(biāo)為m,

D的坐標(biāo)為(mm),

∴點D關(guān)于點O的對稱點D'的坐標(biāo)為(﹣mm),

DD'4|m|,

∵點D是⊙O的稱心點,且⊙O的半徑為2,

2≤4|m|≤6,

mm,

∴點D的橫坐標(biāo)m的取值范圍是mm;

2)如圖,

對于直線yx+1,

x0,

y1F0,1),

OF1

y0,

x+10

x,

E0),

OE

RtEOF中,tanEFO,

∴∠EFO60°,

y軸上一點H作直線EF的垂線交線段EFG,

∵線段EF上的所有點都是⊙T的稱心點,且⊙T的半徑為2,

TG最小2,

RtFGT中,sinEFO,

FH,

OHFHOF1,

當(dāng)點TH向下移動時,GHFH越來越長,EH越來越短,到點GE重合之后,GH越來越長,

∵線段EF上的所有點都是⊙T的稱心點,

FH1t≤3,

t2,

EH≤3,

3

t,

∴﹣2≤t≤1,

當(dāng)點T從點H向上移動時,點TFH上時,TEF的距離小于2,此種情況不符合題意,

當(dāng)點T從點F向上移動時,ETEF,

即:ET≥2

∵線段EF上的所有點都是⊙T的稱心點,

FH≥1EH≤3,

t1≥13,

2≤t,

t的取值范圍是﹣2≤t≤12≤t

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