Question

如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點P從A點出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動．當P運動到C點時，P、Q都停止運動．設點P運動的時間為ts．

（1）當P異于A．C時，請說明PQ∥BC；

（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2，

∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB。

又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。

如圖1，連接BD交AC于O。

 

 

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=AC。

∴OB=AB=1�！郞A=，AC=2OA=2。

運動ts后，AP=t，AO=t，∴。

又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.

∴PQ∥BC.

（2）如圖2，⊙P與BC切于點M，連接PM，則PM⊥BC。

 

 

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=。

由PM=PQ=AQ=t，即=t，解得t=，

此時⊙P與邊BC有一個公共點。

如圖3，⊙P過點B，此時PQ=PB，

 

 

∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB為等邊三角形�！郠B=PQ=AQ=t。∴t=1。

∴當時，⊙P與邊BC有2個公共點。

如圖4，

 

 

⊙P過點C，此時PC=PQ，即 =t

∴t=。

∴當1≤t≤時，⊙P與邊BC有一個公共點。

當點P運動到點C，即t=2時，Q、B重合，⊙P過點B，

此時，⊙P與邊BC有一個公共點。

綜上所述，當t=或1≤t≤或t=2時，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點；當時，⊙P與邊BC有2個公共點。

【解析】直線與圓的位置關系，菱形的性質，含30°角直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，平行的判定，切線的性質，等邊三角形的判定和性質。

【分析】（1）連接BD交AC于O，構建直角三角形AOB．利用菱形的對角線互相垂直、對角線平分對角、鄰邊相等的性質推知△PAQ∽△CAB；然后根據(jù)“相似三角形的對應角相等”證得∠APQ=∠ACB；最后根據(jù)平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”可以證得結論。

（2）分⊙P與BC切于點M，⊙P過點B，⊙P過點C和點P運動到點C四各情況討論即可。