Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+bx經過A（2，0），直線y=

1

2

x+m分別交x軸、y軸于點C、B，點D是拋物線上橫坐標為m的點，作DE⊥x軸于E，DE所在的直線與直線y=

1

2

x+m交于點F．
（1）求該拋物線解析式；
（2）隨著m的變化，試探究：
①當m取何值時，點D和點F重合；
②當1＜m＜2時，用含m的代數式表示DF的長度；
（3）將DF繞D順時針旋轉90°得到DF′，連結E F′，是否存在△DE F′與△CEF相似？若有，請求出m的值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點A的坐標代入二次函數解析式求出b的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）①根據一次函數、二次函數圖象上點的坐標特征設D點坐標為（m，-m²+2m），F點坐標為（m，

3

2

m），根據點D、F重合，它們的縱坐標相等，列出關于m的方程-m²+2m=

3

2

m，然后解方程即可得到m的值；
②由（1）中拋物線的解析式求出頂點坐標，再根據1＜m＜2可知點F在點D的上方，然后根據DF=EF-DE，代入數據整理即可得解；
（3）根據直線解析式求出點C的坐標，再表示出點D、E、F的坐標，然后求出EF、DF、DE的長，再根據相似三角形對應邊成比例分兩種情況討論求解即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx經過A（2，0），
∴-2²+2b=0，
解得b=2，
∴該拋物線解析式為y=-x²+2x；

（2）①∵y=-x²+2x，
∴當x=m時，y=-m²+2m，
即D點坐標為（m，-m²+2m），
∵y=

1

2

x+m，
∴當x=m時，y=

1

2

m+m=

3

2

m，
即F點坐標為（m，

3

2

m）．
∵點D和點F重合，
∴-m²+2m=

3

2

m，
解得m₁=0（不合題意，舍去），m₂=

1

2

；
綜上所述，m的值是

1

2

；

②∵y=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴拋物線頂點坐標為（1，1），
∴當1＜m＜2時，點F在點D的上方，
∴DF=EF-DE=

3

2

m-（-m²+2m）=m²-

1

2

m；

（3）存在m=

3

2

或m=1，使△DE F′與△CEF相似．
理由如下：令y=0，則

1

2

x+m=0，
解得x=-2m，
∴C（-2m，0），
∵點D的橫坐標是m，
∴D（m，-m²+2m），F（m，

3

2

m），E（m，0），
∴CE=3m，EF=

3

2

m，DE=-m²+2m，DF′=DF=m²-

1

2

m，
∴

EF

CE

=

3 2 m

3m

=

1

2

，

DE

DF′

=

-m2+2m

m2- 1 2 m

=

-2m+4

2m-1

，
∵△DE F′與△CEF相似，
∴

-2m+4

2m-1

=

1

2

或

-2m+4

2m-1

=2，
解得m=

3

2

或m=1，
故，存在m=

3

2

或m=1，使△DE F′與△CEF相似．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求函數解析式，一次函數與二次函數圖象上點的坐標特征，相似三角形對應邊成比例的性質，綜合題，但難度不大．