平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2-4ax+4a+c與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1,0),OB=OC,拋物線的頂點(diǎn)為D.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)P滿足∠APB=∠ACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(1)的條件下,對(duì)于實(shí)數(shù)c、d,我們可用min{ c,d }表示c、d兩數(shù)中較小的數(shù),如min{3,-1}=-1.若關(guān)于x的函數(shù)y=min{ax2-4ax+4a+c,m(x-t)2-1(m>0)}的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱,試討論其與動(dòng)直線y=
12
x+n
交點(diǎn)的個(gè)數(shù).
分析:(1)首先求出拋物線的對(duì)稱軸,進(jìn)而根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)得出B點(diǎn)坐標(biāo)以及OB長(zhǎng)度,利用OB=OC得出C點(diǎn)坐標(biāo),即可得出a的值;
(2)作△ABC的外接圓⊙E,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F,設(shè)⊙E與拋物線的對(duì)稱軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)

為點(diǎn)P1,點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P2,點(diǎn)P1,點(diǎn)P2,均為所求的點(diǎn);
(3)由題意可知,原二次函數(shù)的解析式為y=x2-4x+3可得,所求得的函數(shù)的解析式為:
y=(x -2)2-1(x<3)
y=(x-4)2-1(x≥3)
,進(jìn)而利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)與b2-4ac的關(guān)系求出n的值.
解答:解:(1)∵y=ax2-4ax+4a+c=a(x-2)2+c,
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2.
∵拋物線y=ax2-4ax+4a+c與x軸交于
點(diǎn)A、點(diǎn)B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),OB=3.
可得該拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-3).
∵OB=OC,拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,
∴OC=3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入該解析式,解得a=1.
∴此拋物線的解析式為:y=x2-4x+3;


(2)作△ABC的外接圓⊙E,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F,設(shè)⊙E與拋物線的對(duì)稱軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)

為點(diǎn)P1,點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P2,點(diǎn)P1,點(diǎn)P2,均為所求的點(diǎn),如圖1所示:

可知圓心E必在AB邊的垂直平分線上即拋物線的對(duì)稱軸直線x=2上,

∵∠AP1B、∠ACB都是
AB
所對(duì)的圓周角,
∴∠AP1B=∠ACB,且射線FE上的其它點(diǎn)P都不滿足∠APB=∠ACB,

由(1)可知∠OBC=45°,AB=2,OF=2,

可得圓心E也在BC邊的垂直平分線上即直線y=x上,

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為:E(2,2),

由勾股定理可得出:EA=
5
,

∴EP1=EA=
5
,

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為:P1(2,2+
5
),

由對(duì)稱性得點(diǎn)P2的坐標(biāo)為:P2(2,-2-
5
),

∴符合題意的點(diǎn)P坐標(biāo)為:P1(2,2+
5
),P2(2,-2-
5
);



(3)如圖2,由題意可知,原二次函數(shù)的解析式為y=x2-4x+3可得,所求得的函數(shù)的解析式為:
y=(x -2)2-1(x<3)
y=(x-4)2-1(x≥3)

由函數(shù)圖象可知:當(dāng)y1=
1
2
x+n與y=(x-4)2-1有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),

1
2
x+n=(x-4)2-1,

整理得出:x2-
17
2
x+15-n=0,
則b2-4ac=
289
4
-4(15-n)=0,
解得:n=-
49
16


∴當(dāng)n<-
49
16
時(shí),動(dòng)直線y=
1
2
x+n
與函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn);
當(dāng)n=-
49
16
時(shí),動(dòng)直線y=
1
2
x+n
與函數(shù)圖象有唯一的一個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)y1=
1
2
x+n與y=(x-2)2-1有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),

1
2
x+n=(x-2)2-1,

整理得出:x2-
9
2
x+3-n=0,
則b2-4ac=
81
4
-4(3-n)=0,
解得:n=-
33
16


∴當(dāng)-
49
16
<n<-
33
16
時(shí),動(dòng)直線y=
1
2
x+n
與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)n=-
33
16
時(shí),動(dòng)直線y=
1
2
x+n
與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)y1=
1
2
x+n過點(diǎn)B時(shí),

1
2
×3+n=0,

解得:n=-
3
2


∴當(dāng)-
33
16
<n<-
3
2
時(shí),動(dòng)直線y=
1
2
x+n
與函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)n=-
3
2
時(shí),動(dòng)直線y=
1
2
x+n
與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)n>-
3
2
時(shí),動(dòng)直線y=
1
2
x+n
與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及一元二次方程根的判別式和圓周角定理等知識(shí),利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想得出是解題關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=
m
x
(m≠0)的圖象相交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-
1
2
,過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,AC=1,OC=2.
求:(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求一次函數(shù)的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△AOB的位置如圖所示,已知∠AOB=精英家教網(wǎng)90°,∠A=60°,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-
3
,1).
求:(1)點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)圖象經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式和這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖(1),將Rt△AOB放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中,∠A=90°,∠AOB=60°,OB=2
3
,斜邊OB在x軸的正半軸上,點(diǎn)A在第一象限,∠AOB的平分線OC交AB于C.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BC-CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿折線CO-Oy以相同的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)OC、BC的長(zhǎng);
(2)設(shè)△CPQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)P在OC上、Q在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖(2),設(shè)PQ與OA交于點(diǎn)M,當(dāng)t為何值時(shí),△OPM為等腰三角形?求出所有滿足條件的t值.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(2,m),B(-3,n)為兩動(dòng)點(diǎn),其中m>1,連接O精英家教網(wǎng)A,OB,OA⊥OB,作BC⊥x軸于C點(diǎn),AD⊥x軸于D點(diǎn).
(1)求證:mn=6;
(2)當(dāng)S△AOB=10時(shí),拋物線經(jīng)過A,B兩點(diǎn)且以y軸為對(duì)稱軸,求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作直線l交拋物線于P,Q兩點(diǎn),問是否存在直線l,使S△POF:S△QOF=1:2?若存在,求出直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•河?xùn)|區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,4),現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q,點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OC(不包括端點(diǎn)O,C)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD(不包括端點(diǎn)C,D)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),同時(shí)停止,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t=2秒時(shí)PQ=2
5

(Ⅰ)求點(diǎn)D的坐標(biāo),并直接寫出t的取值范圍;
(Ⅱ)連接AQ并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E,把AE沿AD翻折交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接EF,則△AEF的面積S是否隨t的變化而變化?若變化,求出S與t的函數(shù)關(guān)系式;若不變化,求出S的值.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,t為何值時(shí),PQ∥AF?

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