Question

在?ABCD中，AB=10，AD=18，∠BAD的平分線交BC于E，交DC延長線于點F．
（1）找出圖中所有等腰三角形并選擇其中一個證明；
（2）過點B作BG⊥AF于G，若BG=8，求EF的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,勾股定理,平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAF=∠FAD，再根據(jù)AB∥DC，AD∥BC，可得到∠BAF=∠F，∠DAF=∠AEB=∠CEF，從而可得到△ADF，△ABE，△CEF是等腰三角形．
（2）首先利用勾股定理可求出AG的長，再證明△ABE∽△FCE，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出EF的長．

解答：解：（1）△ABE、△CEF、△ADF
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥CB，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形；             
（2）在△ABG中∠ABG=90°，AB=10，BG=8，
∴AG²+BG²=AB²，
∴AG=6，
∵AB=BE，
∴AE=2AG=12，
∵AD=BC=18，
∴CE=BC-BE=8，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FCE，
∴

AE

EF

=

BE

CE

，
∴EF=

48

5

．

點評：此題主要考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，是一個綜合性較強的題目，證出△ADF是等腰三角形，求出△ABE的周長是解題的關鍵．