Question

長方形OABC，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，OA=5，OC=3，點(diǎn)B在第三象限．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若過點(diǎn)B的直線BP與長方形OABC的邊交于點(diǎn)P，且將長方形OABC的面積分為1：4兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，M為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且∠CBM=∠CMB，N是x軸正半軸上一動點(diǎn)，∠MCN的平分線CD交BM的延長線于點(diǎn)D，在點(diǎn)N運(yùn)動的過程中，的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形OABC為長方形，OA=5，OB=3，且點(diǎn)B在第三象限，
∴B（-5，-3）．

（2）若過點(diǎn)B的直線BP與邊OA交于點(diǎn)P，依題意可知：×AB×AP=×OA×OC，
即×3×AP=×5×3，
∴AP=2
∵OA=5，
∴OP=3，
∴P（-3，0），
若過點(diǎn)B的直線BP與邊OC交于點(diǎn)P，依題意可知：×BC×PC=×OA×OC，
即×5×PC=×5×3，
∴PC=
∵OC=3，
∴OP=，
∴P（0，-）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0）或（0，-）．

（3）延長BC至點(diǎn)F，
∵四邊形OABC為長方形，
∴OA∥BC．
∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF．
∵∠CBM=∠CMB，
∴∠MCF=2∠CMB．
過點(diǎn)M作ME∥CD交BC于點(diǎn)E，
∴∠EMC=∠MCD．
又CD平分∠MCN，
∴∠NCM=2∠EMC．
∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，
∠CNM=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠MCF-2∠NCM=2∠D，
∴=．
分析：（1）根據(jù)第三象限點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出答案；
（2）利用長方形OABC的面積分為1：4兩部分，得出等式求出AP的長，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，再求出PC的長，即可得出OP的長，進(jìn)而得出答案；
（3）首先求出∠MCF=2∠CMB，即可得出∠CNM=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠MCF-2∠NCM，得出答案．
點(diǎn)評：此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)、圖形面積求法等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出的是解題關(guān)鍵．