【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG,AH=CF.
(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)如果AB=AD,且AH=AE,求證:四邊形EFGH是矩形.
【答案】(1)證明見解析.(2)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)易證得△AEH≌△CGF,從而證得BE=DG,DH=BF.故有,△BEF≌△DGH,根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形而得證.
(2)由題意知,平行四邊形ABCD是菱形,連接AC,BD,則有AC⊥BD,由AB=AD,且AH=AE可證得HE∥BD,同理可得到HG∥AC,故HG⊥HE,又由(1)知四邊形HGFE是平行四邊形,故四邊形HGFE是矩形.
試題解析:證明:(1)在平行四邊形ABCD中,∠A=∠C,
又∵AE=CG,AH=CF,
∴△AEH≌△CGF.
∴EH=GF.
在平行四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,
∴AB-AE=CD-CG,AD-AH=BC-CF,
即BE=DG,DH=BF.
又∵在平行四邊形ABCD中,∠B=∠D,
∴△BEF≌△DGH.
∴GH=EF.
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
(2)在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.
設(shè)∠A=α,則∠D=180°-α.
∵AE=AH,∴∠AHE=∠AEH=.
∵AD=AB=CD,AH=AE=CG,
∴AD-AH=CD-CG,即DH=DG.
∴∠DHG=∠DGH=.
∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°.
又∵四邊形EFGH是平行四邊形,
∴四邊形EFGH是矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E.
(1)求證:四邊形AECD是菱形;
(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),試判斷△ABC的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:正方形ABCD,等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在正方形的頂點(diǎn)D處,使三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn).
(1)當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),猜想CE與AF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(2)在(1)的條件下,若DE:AE:CE= 1: :3,求∠AED的度數(shù);
(3)若BC= 4,點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn),連結(jié)DM,DM與AC交于點(diǎn)O,當(dāng)三角板的一邊DF與邊DM重合時(shí)(如圖2),若OF=,求CN的長(zhǎng).
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【題目】如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),且PA=1,PB=PD=,則∠APB的度數(shù)為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們給出如下定義:順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.
(1)如圖1,四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證:中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想;
(3)若改變(2)中的條件,使∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀.(不必證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn),OC⊥OD,OM是∠BOD的角平分線,ON是∠AOC的角平分線,則∠MON的度數(shù)是_____°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】彈簧掛上物體后會(huì)伸長(zhǎng),(在彈性限度內(nèi))已知一彈簧的長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量之間的關(guān)系如下表:
物體的質(zhì)量 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
彈簧的長(zhǎng)度 | 12 | 12.5 | 13 | 13.5 | 14 | 14.5 |
(1)當(dāng)物體的質(zhì)量為時(shí),彈簧的長(zhǎng)度是多少?
(2)如果物體的質(zhì)量為,彈簧的長(zhǎng)度為,根據(jù)上表寫出與x的關(guān)系式;
(3)當(dāng)物體的質(zhì)量為時(shí),求彈簧的長(zhǎng)度.
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【題目】某研究所將某種材料加熱到1000℃時(shí)停止加熱,并立即將材料分為A、B兩組,采用不同工藝做降溫對(duì)比實(shí)驗(yàn),設(shè)降溫開始后經(jīng)過x min時(shí),A、B兩組材料的溫度分別為yA℃、yB℃,yA、yB與x的函數(shù)關(guān)系式分別為yA=kx+b,yB=(x﹣60)2+m(部分圖象如圖所示),當(dāng)x=40時(shí),兩組材料的溫度相同.
(1)分別求yA、yB關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)A組材料的溫度降至120℃時(shí),B組材料的溫度是多少?
(3)在0<x<40的什么時(shí)刻,兩組材料溫差最大?
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