Question

等邊三角形的邊長為acm，則它的高為

 

cm，面積為

 

cm²，它的外接圓的半徑為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心,等邊三角形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：如圖，⊙O為等邊三角形的外接圓，延長AO交BC于D，連接OB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BC=a，∠ABC=∠C=60°，利用圓周角定理得∠AOB=2∠C=120°，
則∠OAB=∠OBA=30°，所以∠BOD=60°，∠OBD=30°，可判斷AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD=

1

2

a，在Rt△ABD中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AD=

3

AD=

3

2

a，根據(jù)三角形面積公式得S_△ABC=

1

2

•AD•BC=

3

4

a²，然后在Rt△BOD中計算出OD=

3

3

BD=

3

6

a，于是OB=2OD=

3

3

a．

解答：解：如圖，⊙O為等邊三角形的外接圓，延長AO交BC于D，連接OB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BC=a，∠ABC=∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°，
而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠BOD=60°，∠OBD=30°，
∴∠ODB=90°，
即AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

a，
在Rt△ABD中，AD=

3

AD=

3

2

a，
∴S_△ABC=

1

2

•AD•BC=

1

2

•

3

2

a•a=

3

4

a²，
在Rt△BOD中，OD=

3

3

BD=

3

6

a，
OB=2OD=

3

3

a．
故答案為

3

2

a，

3

4

a²，

3

3

acm．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的外接圓與外心：經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．