Question

【題目】在△ABC和△DCE中，CA=CB，CD=CE，∠CAB= ∠CED=α.

(1)如圖1，將AD、EB延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)0.

①求證:BE= AD;

②用含α的式子表示∠AOB的度數(shù)(直接寫(xiě)出結(jié)果);

(2)如圖2,當(dāng)α=45°時(shí)，連接BD、AE,作CM⊥AE于M點(diǎn)，延長(zhǎng)MC與BD交于點(diǎn)N.求證:N是BD的中點(diǎn).

注:第(2)問(wèn)的解答過(guò)程無(wú)需注明理由.

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析②∠BOA=2α（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到∠ACB=∠DCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CAD=∠CBE=α+∠BAO，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；

（2）如圖2，作BP⊥MN的延長(zhǎng)線上于點(diǎn)P，作DQ⊥MN于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到MC=BP，同理CM=DQ，等量替換得到DQ=BP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

（1）①∵CA=CB,CD=CE,∠CAB=∠CED=α，

∴∠ACB=180°-2α，∠DCE=180°-2α，

∴∠ACB=∠DCE

∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB

∴∠ACD=∠BCE

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE

∴BE=AD；

②∵△ACD≌△BCE

∴∠CAD=∠CBE=α+∠BAO，

∵∠ABE=∠BOA+∠BAO

∴∠CBE+α=∠BOA+∠BAO

∴∠BAO+α+α=∠BOA+∠BAO

∴∠BOA=2α

（2）如圖2，作BP⊥MN的延長(zhǎng)線上于點(diǎn)P，作DQ⊥MN于Q，

∵∠BCP+∠BCA=∠CAM+∠AMC

∴∠BCA=∠AMC

∴∠BCP=∠CAM

在△CBP和△ACM中

∴△CBP≌△ACM（AAS）

∴MC=BP.

同理△CDQ≌△ECM

∴CM=DQ

∴DQ=BP

在△BPN和△DQN中

∴△BPN≌△DQN

∴BN=ND，

∴N是BD中點(diǎn).