Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y＝（m≠0）的圖象交于點A（3，1），且過點B（0，﹣2）．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

（2）如果點P是x軸上的一點，且△ABP的面積是3，求點P的坐標；

（3）若P是坐標軸上一點，且滿足PA＝OA，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝；y＝x﹣2；（2）點P的坐標為(0，0)、(4，0)；（3）點P的坐標為(6，0)或(0，2)．

【解析】

（1）將點A（3，1）代入y=，利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，再將點A（3，1）和B（0，-2）代入y=kx+b，利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式；

（2）首先求得AB與x軸的交點C的坐標，然后根據(jù)S△ABP=S△ACP+S△BCP即可列方程求得P的橫坐標；

（3）分兩種情況進行討論：①點P在x軸上；②點P在y軸上．根據(jù)PA=OA，利用等腰三角形的對稱性求解．

（1）∵反比例函數(shù)y=（m≠0）的圖象過點A（3，1），

∴3=，解得m=3．

∴反比例函數(shù)的表達式為y=．

∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點A（3，1）和B（0，-2），

∴，

解得：，

∴一次函數(shù)的表達式為y=x-2；

（2）如圖，設一次函數(shù)y=x-2的圖象與x軸的交點為C．

令y=0，則x-2=0，x=2，

∴點C的坐標為（2，0）．

∵S△ABP=S△ACP+S△BCP=3，

∴PC×1+PC×2=3，

∴PC=2，

∴點P的坐標為（0，0）、（4，0）；

（3）若P是坐標軸上一點，且滿足PA=OA，則P點的位置可分兩種情況：

①如果點P在x軸上，那么O與P關于直線x=3對稱，

所以點P的坐標為（6，0）；

②如果點P在y軸上，那么O與P關于直線y=1對稱，

所以點P的坐標為（0，2）．

綜上可知，點P的坐標為（6，0）或（0，2）．