Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y=ax2﹣10ax+16a（a≠0）交x軸于A、B兩點，拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，且AB=2DH．

（1）求a的值；
（2）點P是對稱軸右側(cè)拋物線上的點，連接PD，PQ⊥x軸于點Q，點N是線段PQ上的點，過點N作NF⊥DH于點F，NE⊥PD交直線DH于點E，求線段EF的長；
（3）在（2）的條件下，連接DN、DQ、PB，當(dāng)DN=2QN（NQ＞3），2∠NDQ+∠DNQ=90°時，作NC⊥PB交對稱軸左側(cè)的拋物線于點C，求點C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，

∵a≠0，

∴x2﹣10x+16=0，得x=2或x=8，

∴點A（2，0），B（8，0），

∴AB=8﹣2=6，

∵AB=2DH，

∴DH=3，

∵OH=2+ ，

∴D（5，﹣3），

∴﹣3=a×52﹣10a×5+16a，得a=

（2）

解：如圖1，過點D作PQ的垂線，交PQ的延長線于點M，

∵NE⊥PD，

∴∠DPN+∠PNE=90°，

∵NF⊥DE，

∴∠FEN+∠FNE=90°，

又∵DH⊥x軸，PQ⊥x軸，

∴DE∥PQ，

∴∠FEN=∠PNE，

∴∠DPM=∠ENF，

∴△EFN∽△DMP，

∴ ，

設(shè)點P（t， ），

則FN=DM=t﹣5，PM= +3，

∴ ，

解得，EF=3

（3）

解：如圖2，作QG⊥DN于點G，

∵DF∥PQ，

∴∠FDN=∠DNQ，

∵2∠NDQ+∠DNQ=90°，

∴2∠NDQ+∠FDN=90°，

∵∠FDM=90°，

∴∠NDM=2∠NDQ，

∴∠NDQ=∠MDQ，

∴QG=QM=DH=3，

設(shè)QN=m，則DN=2m，

∵sin∠DNM= ，sin∠QNG= ，sin∠DNM=sin∠QNG，

∴ ，得DM=6=DG，

∴OQ=5+6=11，

∴點P的縱坐標(biāo)是： ，

∴點P（11，9），

∵NG=DN﹣DG=2m﹣6，在Rt△NGQ中，QG2+NG2=QN2，

∴32+（2m﹣6）2=m2，

解得，m=3（舍去）或m=5，

設(shè)點C的坐標(biāo)為（n， ），作CK⊥x軸于點K，作NF⊥CK于點K，

則CT= ，NT=11﹣n，

∵P（11，9），則BQ=11﹣8=3，PQ=9，

∵CN⊥PB，PQ∥CK，PQ⊥x軸，

∴△CTN∽△BQP，

∴ ，

即 ，

解得，n=﹣1或n=10（舍去），

∴點C（﹣1，9）．

【解析】（1）根據(jù)y=ax2﹣10ax+16a可以求得當(dāng)y=0時，x的值，從而可以求得點A、B的坐標(biāo)，由拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，且AB=2DH，從而可以求得a的值；（2）根據(jù)已知條件作出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)題意題目中的數(shù)量關(guān)系，通過靈活變形可以求得EF的長；（3）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)題目中的關(guān)系，利用三角形相似，靈活變化可以求得點C的坐標(biāo)．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�