(2013•天水)如圖1,已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過(guò)A(3,0)、B(4,4)兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)將直線OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)D,求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖2,若點(diǎn)N在拋物線上,且∠NBO=∠ABO,則在(2)的條件下,求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P坐標(biāo)(點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)).
分析:(1)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可;
(2)根據(jù)已知條件可求出OB的解析式為y=x,則向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為:y=x-m.由于拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn),意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程,其根的判別式等于0,由此可求出m的值和D點(diǎn)坐標(biāo);
(3)綜合利用幾何變換和相似關(guān)系求解.
方法一:翻折變換,將△NOB沿x軸翻折;
方法二:旋轉(zhuǎn)變換,將△NOB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.
特別注意求出P點(diǎn)坐標(biāo)之后,該點(diǎn)關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)也滿足題意,即滿足題意的P點(diǎn)有兩個(gè),避免漏解.
解答:解:(1)∵拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過(guò)A(3,0)、B(4,4)
∴將A與B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得:
9a+3b=0
16a+4b=4
,解得:
a=1
b=-3
,
∴拋物線的解析式是y=x2-3x.

(2)設(shè)直線OB的解析式為y=k1x,由點(diǎn)B(4,4),
得:4=4k1,解得:k1=1
∴直線OB的解析式為y=x,
∴直線OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為:y=x-m,
∵點(diǎn)D在拋物線y=x2-3x上,
∴可設(shè)D(x,x2-3x),
又∵點(diǎn)D在直線y=x-m上,
∴x2-3x=x-m,即x2-4x+m=0,
∵拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn),
∴△=16-4m=0,
解得:m=4,
此時(shí)x1=x2=2,y=x2-3x=-2,
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2).

(3)∵直線OB的解析式為y=x,且A(3,0),
∴點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(0,3),
根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得出∠A′BO=∠ABO,
設(shè)直線A′B的解析式為y=k2x+3,過(guò)點(diǎn)(4,4),
∴4k2+3=4,解得:k2=
1
4
,
∴直線A′B的解析式是y=
1
4
x+3
,
∵∠NBO=∠ABO,∠A′BO=∠ABO,
∴BA′和BN重合,
即點(diǎn)N在直線A′B上,
∴設(shè)點(diǎn)N(n,
1
4
n+3
),又點(diǎn)N在拋物線y=x2-3x上,
1
4
n+3
=n2-3n,
解得:n1=-
3
4
,n2=4(不合題意,舍去)
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為(-
3
4
,
45
16
).

方法一:
如圖1,將△NOB沿x軸翻折,得到△N1OB1,
則N1-
3
4
-
45
16
),B1(4,-4),
∴O、D、B1都在直線y=-x上.
∵△P1OD∽△NOB,△NOB≌△N1OB1
∴△P1OD∽△N1OB1,
OP1
ON1
=
OD
OB1
=
1
2
,
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(-
3
8
,-
45
32
).
將△OP1D沿直線y=-x翻折,可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P2
45
32
,
3
8
),
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-
3
8
,-
45
32
)或(
45
32
3
8
).

方法二:
如圖2,將△NOB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△N2OB2,
則N2
45
16
3
4
),B2(4,-4),
∴O、D、B1都在直線y=-x上.
∵△P1OD∽△NOB,△NOB≌△N2OB2
∴△P1OD∽△N2OB2,
OP1
ON2
=
OD
OB2
=
1
2
,
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(
45
32
,
3
8
).
將△OP1D沿直線y=-x翻折,可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P2-
3
8
,-
45
32
),
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-
3
8
,-
45
32
)或(
45
32
3
8
).
點(diǎn)評(píng):本題是基于二次函數(shù)的代數(shù)幾何綜合題,綜合考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、一次函數(shù)(直線)的平移、一元二次方程根的判別式、翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換以及相似三角形等重要知識(shí)點(diǎn).本題將初中階段重點(diǎn)代數(shù)、幾何知識(shí)熔于一爐,難度很大,對(duì)學(xué)生能力要求極高,具有良好的區(qū)分度,是一道非常好的中考?jí)狠S題.
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8
9
π
4-
8
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2
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