Question

已知：如圖，在?ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，得△GFC．
（1）求證：BE=DG；
（2）若∠BCD=120?，當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABFG是菱形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定,平行四邊形的性質(zhì),平移的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得：BE=FC，再證明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG；
（2）要使四邊形ABFG是菱形，須使AB=BF；根據(jù)條件找到滿足AB=BF的AB與BC滿足的數(shù)量關(guān)系即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD．
∵AE是BC邊上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．
∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵AE=CG，AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG．
∴BE=DG；

（2）解：當(dāng)BC=

3

2

AB時(shí)，四邊形ABFG是菱形．
證明：∵AB∥GF，AG∥BF，
∴四邊形ABFG是平行四邊形．
∵Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=

1

2

AB．（直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊的一半）
∵BE=CF，BC=

3

2

AB，
∴EF=

1

2

AB．
∴AB=BF．
∴四邊形ABFG是菱形．

點(diǎn)評：本題考查平移的基本性質(zhì)以及菱形的判定，關(guān)鍵是掌握①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等和平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的判定定理．