Question

如圖，長度為2的動線段AB在x軸上向右移動，設(shè)A（x，0），其中x＞0，線段AB關(guān)于射線l：y=

3

3

x的對稱線段為CD，過M（0，2

3

）畫平行于x軸的直線MN與射線l交于點(diǎn)P．
（1）請直接寫出結(jié)論：
①點(diǎn)P坐標(biāo)

 

；
②當(dāng)MN平分線段CD時(shí)，x=

 

；
（2）若線段CD被直線MN分為1：2兩部分，求x的值；
（3）設(shè)梯形ABDC在直線MN下方部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并探究當(dāng)線段AB在運(yùn)動過程中y是否存在最大值？若有，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①P和M的縱坐標(biāo)相等，再把縱坐標(biāo)代入射線l的解析式可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；②由對稱可知O、C、D三點(diǎn)在一條直線上，連接OC，可求得∠POB=∠POD=30°，設(shè)CD交MN于點(diǎn)E，在Rt△OME中可求出OE，再用x表示出OE，可解出x的值；
（2）方法同（1）的②；
（3）設(shè)DB交MN于點(diǎn)F，可知△OCA、△ODB和△DEF均為等邊三角形，則可表示出△OCA、△DEF、△ODB的面積，得出y與x的關(guān)系式，再利用函數(shù)的性質(zhì)求最值．

解答：
解：
（1）①因?yàn)镸N平行x軸，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2

3

，把y=2

3

代入解析式y(tǒng)=

3

3

x可求得x=6，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，2

3

），故答案為：（6，2

3

）；
②由對稱的性質(zhì)可知O、C、D三點(diǎn)在一條直線上，連接OC，
因?yàn)閠an∠POB=

2 3

6

=

3

3

，所以∠POB=∠DOP=∠DOM=30°，
設(shè)MN交CD于點(diǎn)E，則CE=

1

2

CD=

1

2

AB=

1

2

×2=1，且OC=OA=x，所以O(shè)E=x+1，
在Rt△OME中，cos∠EOM=

OM

OE

=

3

2

，即

2 3

x+1

=

3

2

，解得x=3，
故答案為：3；
（2）在Rt△OME中，cos∠EOM=

OM

OE

=

3

2

，
分兩種情況：當(dāng)CE=2ED時(shí)，可知CE=

4

3

，則OE=x+

4

3

，代入上式可得：

2 3

x+ 4 3

=

3

2

，解得x=2

2

3

，
當(dāng)CE=

1

2

ED時(shí)，可知CE=

2

3

，則OE=x+

2

3

，代入上式可得：

2 3

x+ 2 3

=

3

2

，解得x=3

1

3

；
綜上可知x的值為2

2

3

或3

1

3

；
（3）存在，最大值為4

3

．
設(shè)MN交BD于點(diǎn)F，由（1）可知∠COA=60°，且OC=OA，OD=AB，所以△OAC和△OBD都為等邊三角形，
又因?yàn)镸N平行x軸，所以△DEF也為等邊三角形，
在RtRt△OME中，可求得OE=4，且OA=x，OB=x+2，所以DE=OD-OE=OB-OE=x+2-4=x-2，
所以S_△OBD=

3

4

OB²，S_△OCA=

3

4

OA²，S_△DEF=

3

4

DE²，
所以y=S_△OBD-S_△OCA-S_△DEF=

3

4

OB²-

3

4

OA²-

3

4

DE²=

3

4

（x+2）²-

3

4

x²-

3

4

（x-2）²=-

3

4

x²+2

3

x=-

3

4

（x-4）²+4

3

，
所以當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，最大值為4

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查一次函數(shù)與對稱的性質(zhì)的應(yīng)用，在（1）（2）中用x表示出CE的長度是解題的關(guān)鍵，在（3）中同上條件得出△OCA、△DEF、△ODB都是正三角形是解題的關(guān)鍵．