Question

以AB為直徑作半圓O，AB=10，點C是該半圓上一動點，連接AC、BC，延長BC至點D，使DC=BC，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F，在點C運動過程中：
（1）如圖1，當點E與點O重合時，連接OC，試判斷△COB的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，當DE=8時，求線段EF的長；
（3）當點E在線段OA上時，是否存在以點E、O、F為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出此時線段OE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）△COB是等邊三角形，連接OC．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)可得△OBC是等邊三角形；
（2）連接DA．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AB=AD=10，根據(jù)勾股定理和線段的和差關(guān)系可得AE和BE的長，通過AA證明△AEF∽△DEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到EF的長；
（3）分兩種情況：①當交點E在O、A之間時；②當交點E在O、B之間時；討論即可求得線段OE的長．

解答：解：（1）△COB是等邊三角形；
理由如下：∵DE⊥AB，
∴∠DOB=90°，
又∵DC=BC∴OC=BC，
∴OC=BC=OB，
∴△COB是等邊三角形；
（2）解：連接AD，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵DC=BC，
∴AD=AB=10，
∴AE=

AD2-DE2

=

102-82

=6，
∴EB=4；
又∵∠B+∠BAC=90°，
∠B+∠BDE=90°，
∴∠BAC=∠BDE，
∴△AEF∽△DEB，
∴

EF

EB

=

AE

DE

，
∴

EF

4

=

6

8

，
∴EF=3；
（3）答；存在，
當△OEF和△ABC相似時，
①如圖3，若∠FOE=∠CAB，則OF=AF，
又∵DE⊥AB，
∴OE=AE=

OA

2

=

5

2

；
②如圖4，若∠EOF=∠CBA，
則OF∥BD，
∴

OF

BC

=

1

2

，
∴

OF

BD

=

1

4

，
∴

OE

BE

=

OF

BD

=

1

4

，
∴

OE

OE+5

=

1

4

，
∴OE=

5

3

，
綜上所述：OE的長為

5

2

或

5

3

．

點評：考查了圓的綜合題，涉及的知識點有直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．