Question

（2009•黃岡）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²-x-10與y軸的交點為點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連接AC．現(xiàn)有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時出發(fā)，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動，線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x軸于點F．設動點P，Q移動的時間為t（單位：秒）．
（1）求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點的坐標；
（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形？請寫出計算過程；
（3）當0＜t＜時，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明理由；
（4）當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線的解析式，當x=0時，可求得B的坐標；由于BC∥OA，把B的縱坐標代入拋物線的解析式，可求出C的坐標；當y=0時，可求出A的坐標．求頂點坐標時用公式法或配方法都可以；
（2）當四邊形ACQP是平行四邊形時，AP、CQ需滿足平行且相等的條件．已知BC∥OA，只需求t為何值時，AP=CQ，可先用t表示AP，CQ，再列出方程即可求出t的值；
（3）當0＜t＜時，根據(jù)OA=18，P點的速度為4單位/秒，可得出P點總在OA上運動．△PQF中，Q到PF的距離是定值即OB的長，因此只需看PF的值是否有變化即可得出S_△PQF是否為定值，已知QC∥PF，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得出：，因此可得出OP=AF，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA，由于OA的長為定值即PF的長為定值，因此△PQF的面積是不會變化的．其面積的值可用OA•OB求出；
（4）可先用t表示出P，F(xiàn)，Q的坐標，然后根據(jù)坐標系中兩點間的距離公式得出PF²，PQ²，F(xiàn)Q²，進而可分三種情況進行討論：
①△PFQ以PF為斜邊．則PF²=PQ²+FQ²，可求出t的值．
②△PFQ以PQ為斜邊，方法同①
③△PFQ以FQ為斜邊，方法同①．
綜合三種情況即可得出符合條件的t的值．
解答：解：（1）y=（x²-8x-180），
令y=0，得x²-8x-180=0，
即（x-18）（x+10）=0，
∴x=18或x=-10．
∴A（18，0）
在y=x²-x-10中，令x=0得y=-10，
即B（0，-10）．
由于BC∥OA，
故點C的縱坐標為-10，
由-10=x²-x-10得，
x=8或x=0，
即C（8，-10）且易求出頂點坐標為（4，），
于是，A（18，0），B（0，-10），C（8，-10），頂點坐標為（4，）；

（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA．
故只要QC=PA即可，
而PA=18-4t，CQ=t，
故18-4t=t得t=；

（3）設點P運動t秒，則OP=4t，CQ=t，0＜t＜4.5，
說明P在線段OA上，且不與點OA、重合，
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故
∵AF=4t=OP
∴PF=PA+AF=PA+OP=18
又∵點Q到直線PF的距離d=10，
∴S_△PQF=PF•d=×18×10=90，
于是△PQF的面積總為90；

（4）設點P運動了t秒，則P（4t，0），F(xiàn)（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．
∴PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100
FQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100．
①若FP=FQ，則18²=（5t+10）²+100．
即25（t+2）²=224，（t+2）²=．
∵0≤t≤4.5，
∴2≤t+2≤6.5，
∴t+2==．
∴t=-2，
②若QP=QF，則（5t-8）²+100=（5t+10）²+100．
即（5t-8）²=（5t+10）²，無0≤t≤4.5的t滿足．
③若PQ=PF，則（5t-8）²+100=18²．
即（5t-8）²=224，由于≈15，又0≤5t≤22.5，
∴-8≤5t-8≤14.5，而14.5²=（）²=＜224．
故無0≤t≤4.5的t滿足此方程．
注：也可解出t=＜0或t=＞4.5均不合題意，
故無0≤t≤4.5的t滿足此方程．
綜上所述，當t=-2時，△PQF為等腰三角形．
點評：本題著重考查了二次函數(shù)的性質、圖形平移變換、平行四邊形的判定、直角三角形的判定等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．