Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-

10

，0)，點(diǎn)B在第二象限，OB=

10

，cot∠AOB=3（如圖），一個(gè)二次函數(shù)y=ax²+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B．
（1）試確定點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為C，△ABO繞著點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落在y軸的正半軸上的點(diǎn)D，點(diǎn)A落在點(diǎn)E上，試求sin∠ECD的值．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)B作BH⊥AO，垂足為H，在Rt△BHO中，cot∠AOB=

OH

HB

=3，設(shè)HB=x，則OH=3x，由勾股定理求得x，從而確定點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由二次函數(shù)y=ax²+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B，得方程組

(- 10 )2•a+b=0 (-3)2•a+b=1

，求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)題意，得∠AOB=∠EOC，點(diǎn)E在第二象限，過點(diǎn)E作EG⊥CO，垂足為G，確定點(diǎn)C、E的坐標(biāo)，再再由勾股定理求出CE，從而得出求sin∠ECD的值．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BH⊥AO，垂足為H，
在Rt△BHO中，cot∠AOB=

OH

HB

=3，
設(shè)HB=x，則OH=3x，
∵OB=

10

，OH²+HB²=OB²，
∴(3x)2+x2=(

10

)2，
∴x=1，
∴HB=1，OH=3，（2分）
∵點(diǎn)B在第二象限，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-3，1）；（1分）

（2）由二次函數(shù)y=ax²+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-

10

，0)，
∴

(- 10 )2•a+b=0 (-3)2•a+b=1

，（1分）
解此方程，得：

a=-1 b=10

，（2分）
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=-x²+10；（1分）

（3）根據(jù)題意，得：∠AOB=∠EOC，點(diǎn)E在第二象限，
過點(diǎn)E作EG⊥CO，垂足為G，
與（1）的解法一樣可得：點(diǎn)E的坐標(biāo)是（-1，3），
∴EG=1，OG=3（1分），
由（2），得：這個(gè)二次函數(shù)y=-x²+10的圖象的頂點(diǎn)是C（0，10），
∴OC=10，
∴CG=OC-OG=7，（1分）
在Rt△CGE中，CG²+EG²=CE²，
∴EC=5

2

（1分），
sin∠ECD=

EG

EC

=

1

5 2

=

2

10

（1分）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及二次函數(shù)解析式的確定、拋物線的頂點(diǎn)公式和勾股定理等知識點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．