Question

26、在ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一點，BE=CD，EF∥AD交AB于F．交CA的延長線于P，CH∥AB交AD的延長線于H．解答以下問題．
（1）求證：△APF是等腰三角形；
（2）試在圖中找出一對全等的三角形并給予證明；
（3）試猜想AB與PC的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由平行線EF∥AD，可得同位角、內(nèi)錯角相等，即∠P=∠DAC，∠PFA=∠DAF，進(jìn)而再由平分線的性質(zhì)以及角之間的轉(zhuǎn)化，即可得出結(jié)論；
（2）可由兩角夾一邊求解△DCH≌△BEF；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上可得出線段之間的關(guān)系，通過等量代換即可．

解答：證明：（1）∵EF∥AD，
∴∠P=∠DAC，∠PFA=∠DAF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAF，
∴∠P=∠PFA，
∴AP=AF，
∴△APF是等腰三角形．

（2）△DCH≌△BEF．
證明：AB∥CH，
∴∠BAD=∠H（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∠B=∠DCH（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
又∵EF∥AD（已知），
∴∠BEF∠BDA；
而∠BEF=∠DCH（對頂角相等），
∴∠BEF=∠CDH，又BE=DC，
∴△DCH≌△BEF．

（3）AB=PC，
理由：∵△DCH≌△BEF，
∴CH=BF，又∠H=∠BAD，∠BAD=∠DAC，
∴∠H=∠DAC，
∴AC=CH，
∴AC=BF，
∴AC+AP=BF+AF=PC．

點評：本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)和等腰三角形的判定問題，能夠熟練掌握并運用．