Question

【題目】如圖，，PAB的平分線與CBA的平分線相交于E，CE的延長線交AP于D，求證：

（1）AB=AD+BC；

（2）若BE=3，AE=4，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）12．

【解析】

（1）此題要通過構(gòu)造全等三角形來求解，延長AE交BC的延長線于M；由AP∥BC，及AE平分∠PAB，可求得∠BAE=∠M，即AB=BM，因此直線證得AD=MC即可；在等腰△ABM中，BE是頂角的平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：E是AM的中點(diǎn)，即AE=EM，而PA∥BM，即可證得△ADE≌△MCE，從而得到所求的結(jié)論．

（2）由（1）的全等三角形可知：△ADE、△MCE的面積相等，從而將所求四邊形的面積轉(zhuǎn)化為等腰△ABM的面積，易得AM、BE的值，從而根據(jù)三角形的面積公式求得△ABM的面積，即四邊形ADCB的面積．

解：（1）延長AE交BC的延長線于M．

∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵AD∥BC，

∴∠1=∠M=∠2，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴BM=BA，∠3+∠2=90°，

∴BE⊥AM．

在△ABE和△MBE中，

，

∴△ABE≌△MBE，

∴AE=ME

在△ADE和△MCE中，

∴△ADE≌△MCE，

∴AD=CM，

∴AB=BM=BC+AD．

（2）由（1）知：△ADE≌△MCE，

∴S四邊形ABCD=S△ABM

又∵AE=ME=4，BE=3，

∴，

∴S四邊形ABCD=12．