Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=x﹣2經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）在直線AC上方的拋物線上存在一點(diǎn)P，使△PAC的面積最大，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)及△PAC面積的最大值；

（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x﹣2；D（，）；（2）P（2，1）；△PAC的面積最大為4；（3）存在；G（0，）.

【解析】

（1）利用一次函數(shù)是性質(zhì)求得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式即可；將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式方程，可以直接得到答案；

（2）利用分割法求得△PAC的面積為二次函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)最值的求法進(jìn)行解答；

（3）利用軸對(duì)稱-最短路徑方法證得點(diǎn)G，結(jié)合一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)G的坐標(biāo)．

（1）把x=0代入y=x﹣2中得：y=﹣2，

把y=0代入y=x﹣2中得：x=4，

∴A（4，0），C（0，﹣2），

把A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）分別代入y=ax2+bx+c，得，

解得．

則該拋物線的解析式為：y=﹣x2+x﹣2，

∴y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣）2+，

∴頂點(diǎn)D（，）；

（2）在直線AC的上方拋物線上存在點(diǎn)P（2，1），使△PAC的面積最大，最大值為4．理由如下：

如圖1，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交AC于Q，連接PC，PA．

設(shè)P（x，﹣x2+x﹣2），則Q（x，x﹣2）．

∴PQ=﹣x2+x﹣2﹣（x﹣2）=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2．

又∵S△PAC=S△PQC+S△PQA

=xPQ+（4﹣x）PQ

=2PQ，

∴S△PAC=﹣（x﹣2）2+4．

∴當(dāng)x=2時(shí)，S△PAC最大值為4，此時(shí)﹣x2+x﹣2=1，

∴在直線AC的上方拋物線上存在點(diǎn)P（2，1），使△PAC的面積最大，最大值為4；

（3）存在點(diǎn)G（0，）使得GD+GB的值最�。�理由如下：

如圖1，

作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D交y軸于點(diǎn)G，則B′（﹣1，0），

設(shè)直線B′D的解析式為y=kx+b，

則，解得：，

∴直線B′D的解析式為y=x+，

把x=0代入，得y=，

∴存在點(diǎn)G（0，）使得GD+GB的值最�。�