(2008•哈爾濱)如圖,在平面直角坐標系中,直線y=與x軸、y軸分別交于A、B兩點,將△ABO繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′O,并使OA′⊥AB,垂足為D,直線AB與線段A´B´相交于點G.動點E從原點O出發(fā),以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動,設動點E運動的時間為t秒.
(1)求點D的坐標;
(2)連接DE,當DE與線段OB′相交,交點為F,且四邊形DFB′G是平行四邊形時,(如圖2)求此時線段DE所在的直線的解析式;
(3)若以動點為E圓心,以為半徑作⊙E,連接A′E,t為何值時,Tan∠EA′B′=?并判斷此時直線A′O與⊙E的位置關系,請說明理由.

【答案】分析:現(xiàn)根據(jù)直線y=與x軸、y軸分別交于A、B兩點,求出A、B兩點的坐標,進而再求出OD的長度;然后根據(jù)需要作出恰當?shù)妮o助線,再結(jié)合題意對題目進行分析.
解答:解:(1)由題意知A(,0)B(0,),
∴OA=,OB=,
∴AB==5,
∵OD⊥AB,
OA•OB=AB•OD,
∴OD==2.
過點D作DH⊥x軸于點H.(如圖1)
∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°,
∴∠ODH=∠BAO,
∴tan∠ODH=tan∠BAO=
∴DH=2OH.
設OH=a,則DH=2a.
∴a2+4a2=4,
∴a=
∴OH=,DH=
∴D(-,);

(2)設DE與y軸交于點M.(如圖2)
∵四邊形DFB′G是平行四邊形,
∴DF∥B′G,
∴∠1=∠A′.
又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°,
∴∠BAO=∠2.
∵∠BAO=∠A′,
∴∠1=∠2,
∴DM=OM.(1分)
∵∠3+∠1=90°,∠4+∠2=90°,
∴∠3=∠4,
∴BM=DM,
∴BM=OM,
∴點M是OB中點,
∴M(0,).
設線段DE所在直線解析式為y=kx+b.
把M(0,)D(,)代入y=kx+b,
,解得
∴線段DE所在直線的解析式為

(3)設直線A′B′交x軸于點N,(如圖3)過點A′作A′K⊥x軸于點K.
∵∠AOD=∠A′OK,∠ADO=∠A′KO=90°,OA=OA′=
∴△AOD≌△A′OK,
∴OK=2,
∴A′K=4,
∴A′(-2,4).
過點B′作B′T⊥y軸于點T,同理△OBD≌△B′OT,
∴B′(2,1).
設直線A’B’的解析式為y=k1x+b1
,解得
∴直線A′B′的解析式為
∴N(,0),
∴KN=,
∴A’N==
當E點在N點左側(cè)點E1位置時,過點E1作E1Q1⊥A’N于點Q1
∵tan∠A’NK==,
∴設E1Q1=3m,則Q1N=4m.
又∵tan∠E1A’B’=
∴A’Q1=24m,
∴28m=
∴m=
∴E1N=,
∴OE1=ON-E1N=,此時t=
過點E1作E1S1⊥A’O于點S1
∵sin∠E1OS1=sin∠A′OK,
,
∴E1S1=
∵⊙E的半徑為,而,
∴⊙E1與直線A’O相交.
當E點在N點右側(cè)點E2位置時,
過點E2作E2Q2⊥A′N于點Q2
同理OE2=5,此時t=5.
過點E2作E2S2⊥A′O于點S2
同理E2S2==
∵⊙E的半徑為,
∴⊙E2與直線A′O相切.
∴當t=或t=5時,tan∠EA′B′=
當t=時直線A′O與⊙E相交,當t=5時直線A′O與⊙E相切.
點評:解決較復雜的幾何問題,作出合適的輔助線是解決問題的一個關鍵,同時要熟記一些定理或推論.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源:2008年全國中考數(shù)學試題匯編《圓》(12)(解析版) 題型:解答題

(2008•哈爾濱)如圖,在平面直角坐標系中,直線y=與x軸、y軸分別交于A、B兩點,將△ABO繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′O,并使OA′⊥AB,垂足為D,直線AB與線段A´B´相交于點G.動點E從原點O出發(fā),以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動,設動點E運動的時間為t秒.
(1)求點D的坐標;
(2)連接DE,當DE與線段OB′相交,交點為F,且四邊形DFB′G是平行四邊形時,(如圖2)求此時線段DE所在的直線的解析式;
(3)若以動點為E圓心,以為半徑作⊙E,連接A′E,t為何值時,Tan∠EA′B′=?并判斷此時直線A′O與⊙E的位置關系,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2008年全國中考數(shù)學試題匯編《一次函數(shù)》(06)(解析版) 題型:解答題

(2008•哈爾濱)如圖,在平面直角坐標系中,直線y=與x軸、y軸分別交于A、B兩點,將△ABO繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′O,并使OA′⊥AB,垂足為D,直線AB與線段A´B´相交于點G.動點E從原點O出發(fā),以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動,設動點E運動的時間為t秒.
(1)求點D的坐標;
(2)連接DE,當DE與線段OB′相交,交點為F,且四邊形DFB′G是平行四邊形時,(如圖2)求此時線段DE所在的直線的解析式;
(3)若以動點為E圓心,以為半徑作⊙E,連接A′E,t為何值時,Tan∠EA′B′=?并判斷此時直線A′O與⊙E的位置關系,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2010年中考數(shù)學考前知識點回歸+鞏固 專題11 一次函數(shù)(解析版) 題型:解答題

(2008•哈爾濱)如圖,在平面直角坐標系中,直線y=與x軸、y軸分別交于A、B兩點,將△ABO繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′O,并使OA′⊥AB,垂足為D,直線AB與線段A´B´相交于點G.動點E從原點O出發(fā),以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動,設動點E運動的時間為t秒.
(1)求點D的坐標;
(2)連接DE,當DE與線段OB′相交,交點為F,且四邊形DFB′G是平行四邊形時,(如圖2)求此時線段DE所在的直線的解析式;
(3)若以動點為E圓心,以為半徑作⊙E,連接A′E,t為何值時,Tan∠EA′B′=?并判斷此時直線A′O與⊙E的位置關系,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2008年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

(2008•哈爾濱)小李想用籬笆圍成一個周長為60米的矩形場地,矩形面積S(單位:平方米)隨矩形一邊長x(單位:米)的變化而變化.
(1)求S與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)當x是多少時,矩形場地面積S最大,最大面積是多少?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案