Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=ax²+2ax+c的圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0）
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，若直線OM把四邊形ACDB分成面積為1：2的兩部分，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)P在何處時(shí)△CPB的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此只需將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入其中求解即可．
（2）先畫(huà)出相關(guān)圖示，連接OD后發(fā)現(xiàn)：S_△OBD：S_{四邊形ACDB}=2：3，因此直線OM必須經(jīng)過(guò)線段BD才有可能符合題干的要求；設(shè)直線OM與線段BD的交點(diǎn)為E，根據(jù)題干可知：△OBE、多邊形OEDCA的面積比應(yīng)該是1：2或2：1，即△OBE的面積是四邊形ACDB面積的或，所以先求出四邊形ABDC的面積，進(jìn)而得到△OBE的面積后，可確定點(diǎn)E的坐標(biāo)，首先求出直線OE（即直線OM）的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式后即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo)（注意點(diǎn)M的位置）．
（3）此題必須先得到關(guān)于△CPB的面積函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求出△CPB的面積最大值以及對(duì)于的點(diǎn)P坐標(biāo)；通過(guò)圖示可發(fā)現(xiàn)，△CPB的面積可由四邊形OCPB的面積減去△OCB的面積求得，首先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，四邊形OCPB的面積可由△OCP、△OPB的面積和得出，據(jù)此思路來(lái)解即可．
解答：解：（1）由題意，得：

解得：．
所以，所求二次函數(shù)的解析式為：y=-x²-2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4）．

（2）連接OD，如右圖；
易求：S_△OBD=×3×4=6，S_{四邊形ACDB}=S_△ABD+S_△ACD=×3×4+×3×2=9．
因此直線OM必過(guò)線段BD，易得直線BD的解析式為y=2x+6；
設(shè)直線OM與直線BD 交于點(diǎn)E，則△OBE的面積可以為3或6．
①當(dāng)S_△OBE=×9=3時(shí)，易得E點(diǎn)坐標(biāo)（-2，2），
則直線OE的解析式為y=-x，
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)（x，-x），聯(lián)立拋物線的解析式有：
-x=-x²-2x+3，
解得：x₁=，x₂=（舍去），
∴M（，）．
②當(dāng)S_△OBE=×9=6時(shí)，同理可得M點(diǎn)坐標(biāo)．
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）．

（3）連接OP，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以n=-m²-2m+3，
所以S_△CPB=S_△CPO+S_△OPB-S_△COB
=OC•（-m）+OB•n-OC•OB
=-m+n-
=（n-m-3）
=-（m²+3m）
=-（m+）²+．
因?yàn)?3＜m＜0，所以當(dāng)m=-時(shí)，n=．△CPB的面積有最大值．
所以當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，）時(shí)，△CPB的面積有最大值，且最大值為．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的解法以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)；（2）題中，一定先要探究一下點(diǎn)M的位置，以免出現(xiàn)漏解的情況．