Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．

（1）若AE=2，求EC的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)G在DC上，且∠AGC=120°，求證：AG=EG+FG．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）連接EF，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB=AD，∠B=∠D，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=AF，從而得到△AEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得EF，再判斷出△CEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的直角邊與斜邊的關(guān)系求解即可；

（2）在AG上截取GH=FG，可得△FGH是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得FH=FG，∠FHG=60°，再求出∠AFH=∠EFG，然后利用“邊角邊”證明△AFH和△EFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等AH=GE，然后證明即可．

試題解析：（1）解：如圖，連接EF，

在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，

在△ABE和△ADF中， ，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴EF=AE=2，

∵BE=DF，BC=CD，

∴BC﹣BE=CD﹣DF，

即CE=CF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EC=EF=×2=；

（2）如圖（2）②在AG上截取GH=FG，

∵∠AGC=120°，

∴∠AGF=60°，

∴△FGH是等邊三角形，

∴FH=FG，∠FHG=60°，

∵△AEF是等邊三角形，

∴∠AFE=60°，

∴∠AFE=∠GFH=60°，

∴∠AFE﹣∠EFH=∠GFH﹣∠EFH，

即∠AFH=∠EFG，

在△AFH和△BFG中， ，

∴△AFH≌△EFG（SAS），

∴AH=GE，

∴AG=AH+GH=EG+FG，

即AG=EG+FG．