Question

（2011•黑河）已知直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∠ABC=60°，BC與x軸交于點C．
（1）試確定直線BC的解析式．
（2）若動點P從A點出發(fā)沿AC向點C運動（不與A、C重合），同時動點Q從C點出發(fā)沿CBA向點A運動（不與C、A重合），動點P的運動速度是每秒1個單位長度，動點Q的運動速度是每秒2個單位長度．設△APQ的面積為S，P點的運動時間為t秒，求S與t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，當△APQ的面積最大時，y軸上有一點M，平面內是否存在一點N，使以A、Q、M、N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得A點坐標（﹣4﹐0），B點坐標（0﹐4﹚，
∵OA=4OB=4，
∴∠BAO=60°，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵OC=OA=4，
∴C點坐標﹙4，0﹚，
設直線BC解析式為y=kx﹢b，
，
∴，
∴直線BC的解析式為y=﹣；（2分）
﹙2﹚當P點在AO之間運動時，作QH⊥x軸．
∵，
∴，
∴QH=t
∴S_△APQ=AP•QH=t•t=t²﹙0＜t≤4﹚，（2分）
同理可得S_△APQ=t•﹙8﹚=﹣﹙4≤t＜8﹚；（2分）
（3）存在，
（4，0），（﹣4，8）（﹣4，﹣8）（﹣4，）．（4分）

略