Question

如圖所示，等腰△ABC中，底邊BC上有任意一點(diǎn)D，則D點(diǎn)到兩腰上的距離與一腰上的高有什么關(guān)系？
（1）在甲圖中，當(dāng)點(diǎn)D在底邊BC上時(shí)，寫出你的猜想并證明；
（2）在乙圖中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，寫出你的猜想并證明．

Answer 1

（1）猜想：DE+DF=CG．
證明：如答圖所示，在CG上截取GH=ED，并連接HD，
∵CG⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥CG，DH∥EG，∠HGE=90°，
∴四邊形DHGE是矩形，
∴∠DHG=90°，
∴∠DHC=90°，
在△DHC和△CFD中，
∠DHC=∠CFD=90°，
∵DH∥AB，AB=AC，
∴∠HDC=∠B=∠FCD，DC=CD，
∴△DHC≌△CFD，
∴HC=FD，
∴DE+DF=GH+HC=CG，
即DE+DF=CG．

（2）猜想：DE-DF=CG．
證明：如答圖所示，過C作CM⊥ED，垂足為M，
∵DF⊥AC，
∴∠CMD=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠FCD，
∴∠B=∠FCD，
∵DE⊥AB，CM⊥DE，
∴CM∥AB，
∴∠B=∠MCD，
∴∠MCD=∠FCD，
在△CMD和△CFD中
，
∴△CMD≌△CFD，
∴DM=DF，
∵四邊形GCME為長方形，
∴CG=EM，
∵EM+MD=DE，
∴CG+DF=DE，
即DE-DF=CG．
分析：（1）猜想是DE+DF=CG．在CG上截取CH=DE，連接DH，易證四邊形GEDH是矩形，從而可知∠GHD=90°，DH∥AB，那么就有∠DHC=∠CFD=90°，∠HDC=∠B，又AB=AC，利用等邊對(duì)等角，可得∠B=∠FCD，于是∠HDC=∠FCD，再結(jié)合CD=DC，利用AAS可證△DHC≌△CFD，那么CH=DF，從而易證DE+DF=CG．
（2）猜想：DE-DF=CG．過C作CM⊥ED，垂足為M，易證四邊形CGEM是矩形，利用AAS可證△DCM≌△DCF，那么DM=DF，易證DE-DF=CG．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；輔助線的作出是正確解答本題的關(guān)鍵．