Question

如圖已知AB⊥BD，CD⊥BD．若AB=9，CD=4，BD=10，請問在BD上是否存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：

分析：存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可．

解答：解：存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
理由是：設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當(dāng)

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴①

9

4

=

x

10-x

或②

9

10-x

=

x

4

，
解方程①得：x=

90

13

，經(jīng)檢驗x=

90

13

是方程①的解，且符合題意．
方程②得：x（10-x）=36，
x²-10x+36=0，
△=（-10）²-4×1×36＜0，此方程無解，
∴當(dāng)BP=

90

13

時，以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為

90

13

．

點評：本題考查了相似三角形的判定，根的判別式的應(yīng)用，注意：ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數(shù)），當(dāng)△=b²-4ac＜0時，方程無實數(shù)解，當(dāng)△=b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)解，當(dāng)△=b²-4ac＞0時，方程有兩個不等的實數(shù)解．