Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為直角梯形，點A、B、C的坐標分別為（2，6），（8，6），（8，0）．動點F、D分別從O、B同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動．其中，點F沿OC向終點C運動，點D沿BA向終點A運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點D作DE⊥AB，交OB于E，連接EF．已知動點運動了x秒．
（1）x的取值范圍為多少？
（2）E點的坐標為______；（用含x的代數(shù)式表示）
（3）試求△OFE面積的最大值，并求此時x的值．
（4）請你探索：△OFE能否成為以OF為底邊的等腰三角形？如能請求出x的值．

Answer 1

解：（1）∵AB=8-2=6，
∴0≤x≤6；

（2）過E作EG⊥BC于G，
∵AB∥OC，
∴∠OBE=∠COB，
∵∠EDB=∠BCO=90°，
∴△BDE∽△OCB，
∴DB：DE=OC：BC，
∴x：DE=8：6，
∴DE=x，
又∵四邊形DEGB是矩形，
∴EG=x，BG=x，
∴E點坐標是：（8-x，6-x）；

（3）設△OEF的面積為S，在△OEF中，OF=x，OF邊上的高EH=CG=6-x，
其中，0≤x≤6，
∴S=x•（6-x）==-，
∴S的最大值為6，此時x=4；

（4）延長DE交x軸于H，則有EH⊥OC，
若HF=HO且EH⊥OC（點F在點H的右邊），則△OFE就可以OF為底邊的等腰三角形，
∵OH=8-x，HF=OF-OH=x-（8-x）=2x-8，
∴8-x=2x-8，
∴x=（＜6成立）．
分析：（1）根據(jù)題意易知AB＜CD，且知AB=6，故可求x的取值范圍；
（2）過E作EG⊥BC于G，由于AB∥OC，可知∠OBE=∠COB，而∠EDB=∠BCO=90°，可證△BDE∽△OCB，再利用比例線段可求DE，而知四邊形DEGB是矩形，那么易求點E的坐標；
（3）通過觀察可知，在△OEF中，OF=x，OF邊上的高EH=CG=x，利用三角形面積公式有S_△OFE=-，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求S的最大值，以及x的值；
（4）延長DE交x軸于H，則有EH⊥OC，當HF=HO且EH⊥OC（點F在點H的右邊），則△OFE就可以OF為底邊的等腰三角形，而OH=8-x，HF=OF-OH=x-（8-x）=2x-8，于是8-x=2x-8，解得x=，并且x＜6，成立．
點評：本題考查了自變量的取值范圍、相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形面積的計算、等腰三角形的判定．解題的關鍵是過E作EG⊥BC于G，以及延長DE交x軸于H，則有EH⊥OC，構(gòu)造矩形．