Question

【題目】如圖1，拋物線l1；y=ax2+bx+c（a＜0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（4，0），點(diǎn)A為頂點(diǎn)，且直線OA的解析式為y=x．

（1）如圖1，求拋物線l1的解析式；
（2）如圖2，將拋物線l1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線l2 ， l2與x軸交于點(diǎn)B′，頂點(diǎn)為A′，點(diǎn)P為拋物線l1上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO交l2于點(diǎn)Q，連接PA、PA′、QA′、QA．
請(qǐng)求：平行四邊形PAQA′的面積S與P點(diǎn)橫坐標(biāo)x（2＜x≤4）之間的關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，如圖11﹣3，連接BA′，拋物線l1或l2上是否存在一點(diǎn)H，使得HB=HA′？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

過(guò)A作AD⊥OB于D點(diǎn)，

∵拋物線l1：y=ax2+bx+c（a＜0）過(guò)原點(diǎn)和B（4，0）．

頂點(diǎn)為A．OD= OB=2．

又∵直線OA的解析式為y=x，

∴AD=OD=2．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），

將A、B、O的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，

，

解得 ，

∴拋物線C的解析式為y=﹣ x2+2x

（2）

解：如圖2，

，

∵AO=A′O，PO=OQ，

∴四邊形PAQA′是平行四邊形，

∴S平行四邊形PAQA′=4S△AOP．

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于E交AO于F．

設(shè)P（x，﹣ x2+2x），則F（﹣ x2+2x，﹣ x2+2x），

若P點(diǎn)在拋物線AB段（2＜x≤4）時(shí)，S△AOP= |xP﹣xF|×|yA|= [x﹣（﹣ x2+2x）]×2= x2﹣x，

則S平行四邊形PAQA′=4S△AOP=2x2﹣4x（2＜x≤4）

（3）

解：如圖3，

，

作A′B的垂直平分線l，分別交A′B、x軸于M、N（n，0），由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得l2的頂點(diǎn)坐標(biāo)A′（﹣2，﹣2），

故A′B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)（1，﹣1）．

作MT⊥x軸于T，在Rt△NMB中，MT⊥NB于T，

∠NMT+∠BMT=90°，∠TBM+∠BMT=90°，

∴∠NMT=∠TBM，

又∵∠NTM=∠BTM=90°，

∴△MTN∽△BTM，

= ，

MT2=TNTB，即12=（1﹣n）（4﹣1）．

∴n= ，即N點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，0）．

直線l過(guò)點(diǎn)M（1，﹣1）、N（ ，0），

∴直線l的解析式為y=﹣3x﹣2．

解 ，得x=5 ．

在拋物線l1上存在兩點(diǎn)使得HB=HA′，其坐標(biāo)分別為（5+ ，﹣13﹣3 ），（5﹣ ，﹣13﹣3 ）．

解 得x=﹣5 ，在拋物線l2上存在兩點(diǎn)使得HB=HA′，其坐標(biāo)分別為（﹣5+ ，17﹣3 ），（﹣5﹣ ，17+3 ）；

綜上所述：（5+ ，﹣13﹣3 ），（5﹣ ，﹣13﹣3 ），（﹣5+ ，17﹣3 ），（﹣5﹣ ，17+3 ）

【解析】（1）根據(jù)O、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可得OD的長(zhǎng)，根據(jù)A在直線y=x上，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得S平行四邊形PAQA′=4S△AOP ， 根據(jù)平行于x軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的橫坐標(biāo)減較小的橫坐標(biāo)，可得PF的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積，可得答案；（3）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可得H在線段A′B的垂直平分線上，根據(jù)解方程組，可得H點(diǎn)的坐標(biāo)．