Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的圖象與y軸正半軸交于A點(diǎn)．

（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)的交點(diǎn)為點(diǎn)B，若∠ABO=45°，將直線AB向下平移2個(gè)單位得到直線l，求直線l的解析式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)M（p，q）為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)﹣3＜p＜0時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線l的下方，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）該二次函數(shù)的圖象與軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）y=﹣x﹣1；（3）m的取值范圍為：﹣＜m＜0．

【解析】

試題分析：（1）直接利用根的判別式，結(jié)合完全平方公式求出△的符號(hào)進(jìn)而得出答案；

（2）首先求出B，A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AB的解析式，再利用平移規(guī)律得出答案；

（3）根據(jù)當(dāng)﹣3＜p＜0時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線l的下方，當(dāng)p=0時(shí)，q=1；當(dāng)p=﹣3時(shí)，q=12m+4；結(jié)合圖象可知：﹣（12m+4）≤2，即可得出m的取值范圍．

試題解析：（1）令mx2﹣（m+n）x+n=0，則△=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2，

∵二次函數(shù)圖象與y軸正半軸交于A點(diǎn)，∴A（0，n），且n＞0，

又∵m＜0，∴m﹣n＜0，∴△=（m﹣n）2＞0，

∴該二次函數(shù)的圖象與軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）令mx2﹣（m+n）x+n=0，解得：x1=1，x2=，由（1）得＜0，故B的坐標(biāo)為（1，0），

又因?yàn)?/span>∠ABO=45°，

所以A（0，1），即n=1，

則可求得直線AB的解析式為：y=﹣x+1．

再向下平移2個(gè)單位可得到直線l：y=﹣x﹣1；

（3）由（2）得二次函數(shù)的解析式為：y=mx2﹣（m+1）x+1．

∵M（p，q） 為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴q=mp2﹣（m+1）p+1．

∴點(diǎn)M關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（p，﹣q）．

∴M′點(diǎn)在二次函數(shù)y=﹣m2+（m+1）x﹣1上．

∵當(dāng)﹣3＜p＜0時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線l的下方，

當(dāng)p=0時(shí)，q=1；當(dāng)p=﹣3時(shí)，q=12m+4；

結(jié)合圖象可知：﹣（12m+4）＜2，解得：m＞﹣．

∴m的取值范圍為：﹣＜m＜0．