【題目】閱讀材料: 小明在學(xué)習(xí)二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方,如:,善于思考的小明進(jìn)行了以下探索:
設(shè)(其中均為整數(shù)),則有 .
∴.這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法.
請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)均為正整數(shù)時(shí),若,用含m、n的式子分別表示,得 = ,= ;
(2)利用所探索的結(jié)論,找一組正整數(shù),填空: + =( + )2;
(3)若,且均為正整數(shù),求的值.
【答案】(1);;(2)4,2,1,1(答案不唯一);(3)=7或13
【解析】分析:(1)由a+b=(m+n)2,展開(kāi)比較系數(shù)可得答案;
(2)取m=1,n=1,可得a和b的值,可得答案;
(3)由題意得m和n的方程,解方程可得m和n,可得a值.
詳解:(1)∵a+b=(m+n)2,
∴a+b=m2+3n2+2mn,
∴a=m2+3n2,b=2mn.
故答案為:m2+3n2,2mn.
(2)設(shè)m=1,n=1,
∴a=m2+3n2=4,b=2mn=2.
故答案為4、2、1、1.
(3)由題意,得:
a=m2+3n2,b=2mn
∵4=2mn,且m、n為正整數(shù),
∴m=2,n=1或者m=1,n=2,
∴a=22+3×12=7,或a=12+3×22=13.
點(diǎn)睛:本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算,完全平方公式,解題的關(guān)鍵在于熟練運(yùn)算完全平方公式和二次根式的運(yùn)算法則.
【題型】解答題
【結(jié)束】
28
【題目】如圖1,已知點(diǎn)A(a,0),B(0,b),且a、b滿足,
□ABCD的邊AD與y軸交于點(diǎn)E,且E為AD中點(diǎn),雙曲線經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)D點(diǎn)縱坐標(biāo)為t,則C點(diǎn)縱坐標(biāo)為 (含t的代數(shù)式表示),k的值為 ;
(2)點(diǎn)P在雙曲線上,點(diǎn)Q在y軸上,若以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,試求滿足要求的所有點(diǎn)P、Q的坐標(biāo);
(3)以線段AB為對(duì)角線作正方形AFBH(如圖3),點(diǎn)T是邊AF上一動(dòng)點(diǎn),M是HT的中點(diǎn),MN⊥HT,交AB于N,連接FN,當(dāng)T在AF上運(yùn)動(dòng)時(shí),試判斷∠ATH與∠AFN之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由。
【答案】(1)t-3,6;(2)(1,6),(0,9);;(-1,-6),(0,-9);(-1,-6),(0,3);(3)∠ATH+∠AFN=135°.
【解析】分析:(1)先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值,故可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)D(1,t),由DC∥AB,可知C(2,t-2),再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出t的值即可;
(2)由(1)知k=4可知反比例函數(shù)的解析式為y=,再由點(diǎn)P在雙曲線y=上,點(diǎn)Q在y軸上,設(shè)Q(0,y),P(x,),再分以AB為邊和以AB為對(duì)角線兩種情況求出x的值,故可得出P、Q的坐標(biāo);
(3)連NH、NT、NF,易證NF=NH=NT,故∠NTF=∠NFT=∠AHN,∠TNH=∠TAH=90°,MN=HT由此即可得出結(jié)論.
詳解:(1)∵,且∴a+1=0,a+b+4=0,解得:a=1;b=3,
∴A(-1,0),B(0,-3),∵E為AD中點(diǎn),∴xD=1,設(shè)D(1,t),
又∵DC∥AB,∴C(2,t-3),∴t=2t-6,∴t=6,∴k=6;
(2)∵由(1)知k=6,
∴反比例函數(shù)的解析式為,∵點(diǎn)P在雙曲線上,點(diǎn)Q在y軸上,
∴設(shè)Q(0,y),P(,
①AB為邊時(shí):
如圖1所示: 若ABPQ為平行四邊形,則,
解得x=1,此時(shí)(1,6),(0,9);
如圖2所示;若ABQP為平行四邊形,則,
解得x=-1,此時(shí)(-1,-6),(0,-9); /p>
②如圖3所示;當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí):AP=BQ,且AP∥BQ;
∴,解得x=-1,∴(-1,-6),(0,3);
故(1,6),(0,9);;(-1,-6),(0,-9);(-1,-6),(0,3);
(3)連NH、NT、NF,∵MN是線段HT的垂直平分線,
∴NT=NH,∵四邊形AFBH是正方形,∴∠ABF=∠ABH,
在△BFN與△BHN中,∵BF=BH,∠ABF=∠ABH,BN=BN,
∴△BFN≌△BHN,∴NF=NH=NT,∴∠NTF=∠NFT=∠AHN,
四邊形ATNH中,∠ATN+∠NTF=180°,
而∠NTF=∠NFT=∠AHN,
所以,∠ATN+∠AHN=180°,
所以,四邊形ATNH內(nèi)角和為360°,
所以∠TNH=360°-180°-90°=90°.
∠ATH+∠AFN=135°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1) 如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,AE,BF交于點(diǎn)O,∠AOF=90°.求證:BE=CF.
(2) 如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,H,F,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于點(diǎn)O,∠FOH=90°, EF=4.求GH的長(zhǎng).
(3) 已知點(diǎn)E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于點(diǎn)O,∠FOH=90°,EF=4. 直接寫出下列兩題的答案:
①如圖3,矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成,求GH的長(zhǎng);
②如圖4,矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成,求GH的長(zhǎng)(用n的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用紙?jiān)谀持`印社復(fù)印文件,復(fù)印頁(yè)數(shù)不超過(guò)時(shí)每頁(yè)收費(fèi)元;復(fù)印頁(yè)數(shù)超過(guò)時(shí),超過(guò)部分每頁(yè)收費(fèi)元.在某圖書館復(fù)印同樣的文件,不論復(fù)印多少頁(yè),每頁(yè)收費(fèi)元,如何根據(jù)復(fù)印的頁(yè)數(shù)選擇復(fù)印的地點(diǎn)使總價(jià)格比較便宜?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】請(qǐng)根據(jù)圖示的對(duì)話解答下列問(wèn)題.
求:(1)a,b的值;
(2)8﹣a+b﹣c的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).過(guò)點(diǎn)A作AC∥y軸,AC=1(點(diǎn)C位于點(diǎn)A的下方),過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸,與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD,垂足E在線段CD上,連接OC,OD.
(1)求△OCD的面積;
(2)當(dāng)BE=AC時(shí),求CE的長(zhǎng).
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2),求函數(shù)解析式,再有AC∥y軸,AC=1求出C點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)CD∥x軸,求D點(diǎn)坐標(biāo),從而可求CD長(zhǎng),最后利用三角形面積公式求出△OCD的面積.
(2)通過(guò)BE=AC,求得B點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得CE長(zhǎng).
試題解析:解:(1)∵函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2),
∴,即k=2.
∵AC∥y軸,AC=1,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1).
∵ CD∥x軸,點(diǎn)D在函數(shù)圖像上,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1).
∴.
(2)∵BE=AC,∴BE=.
∵BE⊥CD,∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是.∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是.
∴CE=.
考點(diǎn):1.反比例函數(shù)綜合題;3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系;3.三角形的面積.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】閱讀材料: 小明在學(xué)習(xí)二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方,如:,善于思考的小明進(jìn)行了以下探索:
設(shè)(其中均為整數(shù)),則有 .
∴.這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法.
請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)均為正整數(shù)時(shí),若,用含m、n的式子分別表示,得 = ,= ;
(2)利用所探索的結(jié)論,找一組正整數(shù),填空: + =( + )2;
(3)若,且均為正整數(shù),求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的袋子中裝有20個(gè)球,其中紅球6個(gè),白球和黑球若干個(gè),每個(gè)球除顏色外完全相同.
(1)小明通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)(每次將球攪勻后,任意摸出一個(gè)球,記下顏色后放回)發(fā)現(xiàn),摸出的黑球的頻率在0.4附近擺動(dòng),請(qǐng)你估計(jì)袋中黑球的個(gè)數(shù).
(2)若小明摸出的第一個(gè)球是白球,不放回,從袋中余下的球中再任意摸出一個(gè)球,摸出白球的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,∠EDC=∠CAB,∠DEC=90°.
(1)求證:AC∥DE;
(2)過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F,連接EF,試判別四邊形BCEF的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-7,點(diǎn)B表示的數(shù)為5,點(diǎn)C到點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離相等,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(>0)秒
(1)點(diǎn)C表示的數(shù)是_________.
(2)求當(dāng)等于多少秒時(shí),點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B處.
(3)點(diǎn)P表示的數(shù)是_________(用含有的代數(shù)式表示).
(4)求當(dāng)t等于多少秒時(shí),PC之間的距離為2個(gè)單位長(zhǎng)度(只列式,不計(jì)算).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,二次函數(shù)y=ax2+2ax﹣3a(a≠0)圖象的頂點(diǎn)為H,與x軸交于A、B兩點(diǎn)(B在A點(diǎn)右側(cè)),點(diǎn)H、B關(guān)于直線l: 對(duì)稱.
(1)求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),并證明點(diǎn)A在直線l上;
(2)求二次函數(shù)解析式;
(3)過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn),M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.
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