Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OCD的一邊OC在x軸上，∠C=90°，點D在第一象限，OC=3，DC=4，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過OD的中點A．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式；
（2）若該反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象與Rt△OCD的另一邊DC交于點B，求過A、B兩點的直線的解析式；
（3）在反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）第一象限的圖象上，是否存在點E，使得四邊形ACED為梯形？若存在，求出E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)已知得出D點坐標(biāo)為（3，4），得到OD的中點A的坐標(biāo)為（

3

2

，2），利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；
（2）令x=3，則y=

3

3

=1，確定B點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式；
（3）先求出直線AC的解析式，再分兩種情況討論，當(dāng)AC∥DE時四邊形ACED為梯形，求出DE的解析式，再求出DE與反比例函數(shù)的交點即可；當(dāng)CE∥AD時，四邊形ACED為梯形，求出CE的解析式，再求出CE與反比例函數(shù)的交點即可．

解答：解：（1）∵OC=3，DC=4，
∴D點坐標(biāo)為（3，4），
而點A為OD的中點，
∴A點坐標(biāo)為（

3

2

，2），
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，
把A（

3

2

，2）代入得k=2×

3

2

=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

；

（2）令x=3，則y=

3

3

=1，
∴點B的坐標(biāo)為（3，1）；
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（

3

2

，2）和B（3，1）代入得，

2= 3 2 k+b 1=3k+b

，
解得k=-

2

3

，b=3，
∴直線AB的解析式為y=-

2

3

x+3；

（3）設(shè)AC的解析式為：y=ax+b，
則

2= 3 2 a+b 0=3a+b

，
解得：

a=- 4 3 b=4

，
則直線AC的解析式為：y=-

4

3

x+4，
如圖1：當(dāng)AC∥DE時，
四邊形ACED為梯形，
設(shè)DE的解析式為：y=-

4

3

x+m，
則4=-

4

3

×3+m，
解得：m=8，
則DE的解析式為：y=-

4

3

x+8，
由

y=- 4 3 x+8 y= 3 x

，
解得：

x= 6+ 3 2 y= 12-2 3 11

或

x= 6- 3 2 y= 12+2 3 11

；
如圖2：當(dāng)CE∥AD時，四邊形ACED為梯形，
∵OD的解析式為y=

4

3

x，
∴設(shè)CE的解析式為：y=

4

3

x+n，
則0=

4

3

×3+n，
解得：n=-4，
∴CE的解析式為：y=

4

3

x-4，
由

y= 4 3 x-4 y= 3 x

得：

x= 6+3 7 4 y= 7 -2

或

x= 6-3 7 4 y=- 7 -2

（不合題意，舍去）；
則E的坐標(biāo)（

6+ 3

2

，

12-2 3

11

）或（

6- 3

2

，

12+2 3

11

）或（

6+3 7

4

，

7

-2）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題的解法：先利用待定系數(shù)法確定反比例的解析式，那么圖象上所有點的橫縱坐標(biāo)的乘積為定值．也考查了線段中點坐標(biāo)的求法．