Question

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x²-4x-2（k-1）=0有兩個實數(shù)根x₁，x₂．
（1）是否存在k值使x₁•x₂＞x₁+x₂？若存在求出k值；若不存在，請說明理由．
（2）若方程兩根均為正整數(shù)，且x₁≠x₂，試求k的值．

Answer 1

解：∵關(guān)于x的一元二次方程x²-4x-2（k-1）=0有兩個實數(shù)根x₁，x₂．
∴△=16-4×[-2（k-1）]≥0，
解得，k≥-1；
（1）∵x₁•x₂=2（k-1），x₁+x₂=4，
∴2（k-1）＞4，
解得，k＞3．即存在這樣的k的值，k的取值范圍為k＞3；

（2）∵方程兩根均為正整數(shù)，且x₁≠x₂，x₁+x₂=4，
∴當x₁=1時，x₂=3，則2（k-1）=3，解得k=；
當x₁=3時，x₂=1，則2（k-1）=3，解得k=；
綜上所述，k=．
分析：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于k的不等式2（k-1）＞4，通過解不等式即可求得相應的k的值；
（2）根據(jù)兩根之和為4，即x₁+x₂=4，和已知條件“x₁≠x₂”分別求得x₁、x₂，然后將其代入x₁•x₂=2（k-1），即可求得k的值．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式．注意：解答（1）題時，要根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x²-4x-2（k-1）=0的根的判別式來確定k的取值范圍．