Question

如圖，已知在△ABC中，若AC和BC邊的長是關(guān)于x的方程x²-（AB+4）x+4AB+8=0的兩個根，且25BC•sinA=9AB．求△ABC三邊的長？

Answer 1

分析：首先由根與系數(shù)的關(guān)系可以得到AC+BC=AB+4（1），AC•BC=4AB+8（2），然后由（1）²-2（2）得AC²+BC²=AB²，
然后利用勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形，且∠C=90°，接著利用三角函數(shù)可以得到

BC

AB

=sinA，
由25BC•sinA=9AB可以得到sinA•

BC

AB

=

9

25

，然后就可以求出sinA=

3

5

，也就求出

BC

AB

=

3

5

，設(shè)BC=3k，AB=5k，由勾股定理得AC=4k，這樣利用（1）即可解決問題．

解答：解：依題意得：AC+BC=AB+4（1）
AC•BC=4AB+8（2），
由（1）²-2（2）得：AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
在Rt△ABC中，

BC

AB

=sinA，
由題意得：sinA•

BC

AB

=

9

25

，
∵∠A是Rt△ABC的銳角，
∴sinA＞0，
∴sinA=

3

5

，
∴

BC

AB

=

3

5

，
設(shè)BC=3k，AB=5k，由勾股定理得AC=4k，
結(jié)合（1）式得4k+3k=5k+4，解之得：k=2．
∴BC=6，AB=10，AC=8．

點評：此題分別考查了根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理及逆定理、三角函數(shù)等知識，綜合性比較強，解題的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)的關(guān)系和勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形．