Question

如果非負(fù)整數(shù)m及其各位數(shù)字之和均為6的倍數(shù)，則稱m為“六合數(shù)”．求小于2012的非負(fù)整數(shù)中“六合數(shù)”的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：整數(shù)問題的綜合運(yùn)用

專題：分類討論

分析：由題意可知：一個(gè)非負(fù)整數(shù)為“六合數(shù)”當(dāng)且僅當(dāng)它末位數(shù)字是偶數(shù)且各位數(shù)字之和是6的倍數(shù)，將小于2012的數(shù)都寫成

.

abcd

的形式，并用f（k）表示M中末位數(shù)字為k的“六合數(shù)”的個(gè)數(shù)，其中k∈{0，2，4，6，8}．然后分類討論，先求出小于2000的“六合數(shù)”，再求出大于或等于2000的“六合數(shù)”的個(gè)數(shù)，據(jù)此解答即可．

解答：解：易知，一個(gè)非負(fù)整數(shù)為“六合數(shù)”當(dāng)且僅當(dāng)它末位數(shù)字是偶數(shù)且各位數(shù)字之和是6的倍數(shù)．
為方便起見，將M={0，1，…，2011}中每個(gè)數(shù)都寫成四位數(shù)

.

abcd

的形式（當(dāng)不足四位數(shù)時(shí)，在最高數(shù)位前補(bǔ)上若干個(gè)數(shù)字“0”，使之恰含有四個(gè)數(shù)字），并用f（k）表示M中末位數(shù)字為k的“六合數(shù)”的個(gè)數(shù)，其中k∈{0，2，4，6，8}．
對n∈N，將滿足x+y=n且x，y∈{0，1，…，9}的（x，y）的組數(shù)記為p_n，顯然pn=

n+1，   n=0，  1， …， 9  19-n，n=10，  11， …， 18  0，   n≥19.

先考慮一切小于2000的“六合數(shù)”

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abck

．
若k=0，則當(dāng)a=0時(shí)，b+c=0，6，12，18；當(dāng)a=1時(shí)，b+c=5，11，17，故f（0）=（p₀+p₆+p₁₂+p₁₈）+（p₅+p₁₁+p₁₇）=16+16=32．
若k=2，則當(dāng)a=0時(shí)，b+c=4，10，16；當(dāng)a=1時(shí)，b+c=3，9，15，故f（2）=（p₄+p₁₀+p₁₆）+（p₃+p₉+p₁₅）=17+18=35．
若k=4，則當(dāng)a=0時(shí)，b+c=2，8，14；當(dāng)a=1時(shí)，b+c=1，7，13，故f（4）=（p₂+p₈+p₁₄）+（p₁+p₇+p₁₃）=17+16=33．
當(dāng)k=6，8時(shí)，與k=0，2的情形類似，有f（6）=f（0）=32，f（8）=f（2）=35．
因此，小于2000的“六合數(shù)”有f（0）+f（2）+f（4）+f（6）+f（8）=167個(gè)．再注意到2000至2011中恰好有一個(gè)“六合數(shù)”2004，所以所求“六合數(shù)”的個(gè)數(shù)為167+1=168．

點(diǎn)評：本題主要考查排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論思想．屬于難題．