【題目】如圖,正方形ABCD(四邊相等,四個(gè)角都是直角)的邊長為4,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)D同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿射線AD方向向右運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí),點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng),連接BP,過點(diǎn)PBP的垂線交過點(diǎn)Q平行于CD的直線l于點(diǎn)E,BECD相交于點(diǎn)F,連接PF,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts),

1)求PBE的度數(shù);

2)當(dāng)t為何值時(shí),PQF是以PF為腰的等腰三角形?

3)試探索在運(yùn)動(dòng)過程中PDF的周長是否隨時(shí)間t的變化而變化?若變化,說明理由;若不變,試求這個(gè)定值.

【答案】1)證明見解析(2t=2s4s時(shí),△PFQ是以PF為腰的等腰三角形(3)△PDF的周長是定值

【解析】試題分析:(1)如圖1中,只要證明△ABP≌△QPE,推出PB=PE即可求解
(2)如圖2中,分兩種情形討論①當(dāng)AP=PD時(shí),可以推出△PFQ是等腰三角形,此時(shí)t=2.
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),PF=CD=AD=DQ,△PFQ是等腰三角形,此時(shí)t=4.
(3)如圖3中,△PDF的周長是定值.將△BCF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAG,只要證明△PBG≌△PBF,推出PF=PG,推出PF=PA+AG=PA+CF,由此即可證明.

試題解析:

1)如圖1中,

∵四邊形ABCD是正方形,

AB=AD,∠A=90°

AP=DQ,

AD=PQ=AB,

PBPE,

∴∠BPE=90°,

∴∠ABP+APB=90°,∠APB+EPQ=90°,

∴∠ABP=EPQ,

∴△ABP≌△QPE,

PB=PE,

∴∠PBE=PEB=45°

2)如圖2中,

①當(dāng)AP=PD時(shí),

AP=DQ,

DP=DQ

FDPQ,

PF=FQ

∴△PFQ是等腰三角形,此時(shí)t=2

②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),PF=CD=AD=DQ,△PFQ是等腰三角形,此時(shí)t=4

綜上所述,t=2s4s時(shí),△PFQ是以PF為腰的等腰三角形.

3)如圖3中,△PDF的周長是定值.

將△BCF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAG

∵∠PBE=45°,∠ABC=90°,

∴∠ABP+CBF=ABP+ABG=45°

∴∠PBG=PBF,

在△PBG和△PBF中,

∴△PBG≌△PBF,

PF=PG,

PF=PA+AG=PA+CF,

∴△PDF的周長=PF+DP+DF=PA+DP+DF+CF=AD+CD=8

∴△PDF的周長為定值.

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