Question

在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如圖，把△ABC的一邊BC放置在x軸上，有OB＝14，OC＝，AC與y軸交于點E．

(1)求AC所在直線的函數解析式；
(2)過點O作OG⊥AC，垂足為G，求△OEG的面積；
(3)已知點F(10，0)，在△ABC的邊上取兩點P，Q，是否存在以O，P，Q為頂點的三角形與△OFP全等，且這兩個三角形在OP的異側？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1) 在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝，∴點E(0，。
設直線AC的函數解析式為y＝kx＋，有，解得：k＝。
∴直線AC的函數解析式為y＝。
(2) 在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝，
設EG＝3t，OG＝5t，，∴，得t＝2。
∴EG＝6，OG＝10。∴/
(3) 存在。
①當點Q在AC上時，點Q即為點G，

如圖1，作∠FOQ的角平分線交CE于點P₁，
由△OP₁F≌△OP₁Q，則有P₁F⊥x軸，
由于點P₁在直線AC上，當x＝10時，
y＝
∴點P₁(10，)。
②當點Q在AB上時，如圖2，

有OQ＝OF，作∠FOQ的角平分線交CE于點P₂，過點Q作QH⊥OB于點H，設OH＝a，
則BH＝QH＝14－a，
在Rt△OQH中，a²＋(14－a)²＝100，
解得：a₁＝6，a₂＝8，∴Q(－6，8)或Q(－8，6)。
連接QF交OP₂于點M．
當Q(－6，8)時，則點M(2，4)；當Q(－8，6)時，則點M(1，3)。
設直線OP₂的解析式為y＝kx，則2k＝4，k＝2。∴y＝2x。
解方程組，得。
∴P₂()；
當Q(－8，6)時，則點M(1，3)．同理可求P₂′()。
綜上所述，滿足條件的P點坐標為
(10，)或()或()。

(1)根據三角函數求E點坐標，運用待定系數法求解。
(2)在Rt△OGE中，運用三角函數和勾股定理求EG，OG的長度，再計算面積。
(3)分兩種情況討論求解：①點Q在AC上；②點Q在AB上．求直線OP與直線AC的交點坐標即可。