Question

如圖，點(diǎn)A．B．C分別是⊙O上的點(diǎn)，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AP=AC．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）求PD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OA。

∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°。
又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°。∴∠AOP=60°。
∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°。∴∠OAP=90°。∴OA⊥AP。
∴AP是⊙O的切線。
（2）解：連接AD。
∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD=90°。∴AD=AC•tan30°=3×。
∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°。
∴∠P=∠PAD。∴PD=AD=。

（1）連接OA，由∠B=60°，利用圓周角定理，即可求得∠AOC的度數(shù)，又由OA=OC，即可求得∠OAC與∠OCA的度數(shù)，利用三角形外角的性質(zhì)，求得∠AOP的度數(shù)，又由AP=AC，利用等邊對(duì)等角，求得∠P，則可求得∠PAO=90°，則可證得AP是⊙O的切線。
（2）由CD是⊙O的直徑，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函數(shù)與等腰三角形的判定定理，即可求得PD的長(zhǎng)。