Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，頂點(diǎn)為點(diǎn)C，直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，8），點(diǎn)B在y軸上．

（1）求m的值和該二次函數(shù)的表達(dá)式．為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E．

①設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．

②若直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為D，求當(dāng)四邊形DCEP是平行四邊形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）若點(diǎn)P（x，y）為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究：以PB為直徑的圓能否與坐標(biāo)軸相切？如果能請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)m=3，拋物線解析式為y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3

（2）①h=PE=x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+5x，（0≤x≤5）

②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，6）

（3）故存在點(diǎn)P，坐標(biāo)為P（﹣6+3，﹣3+3）或P（﹣6﹣3，﹣3﹣3）時(shí)，以PB為直徑的圓能與坐標(biāo)軸相切．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A在直線AB上，求出直線解析式，再根據(jù)點(diǎn)A，B求出拋物線的解析式；

（2）①根據(jù)點(diǎn)P在直線AB上，表示出點(diǎn)P，求出h=PE；

②由DC∥PE，只要DC=PE即可，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）由點(diǎn)P在直線AB上，確定出點(diǎn)P到x，y軸的距離，再由以BC為直徑的圓與坐標(biāo)軸相切，求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

試題解析：（1）A的坐標(biāo)為（5，8）在直線y=x+m上，

∴8=5+m，

∴m=3，

∴直線AB解析式為y=x+3，

∴B（0，3），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+k，

∵點(diǎn)A，B在拋物線上，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3，頂點(diǎn)C（2，﹣1）

（2）①∵點(diǎn)P在線段AB上，

∴P（x，x+3）（0≤x≤5），

∵PE⊥x軸，交拋物線與E，P（x，x+3），

∴E（x，x2﹣4x+3），

∴h=PE=x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+5x，（0≤x≤5）

②∵直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為D，

∴D（2，5），

∴DC=6，

∵四邊形DCEP是平行四邊形，

∴PE=DC=6，

∵PE=|﹣x2+5x|，

Ⅰ、當(dāng)0≤x≤5時(shí)，﹣x2+5x=6，

∴x1=2（舍），x2=3，

∴P（3，6），

Ⅱ、當(dāng)x＜0，或x＞5時(shí)，x2﹣5x=6，

∴x3=﹣1，x4=6，

∴P（﹣1，2）或P（6，9），（舍）

即：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，6）

（3）∴點(diǎn)P（x，y）為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴P（x，x+3），

∴點(diǎn)P到x軸的距離為|x+3|，到y(tǒng)軸的距離為|x|，

∵點(diǎn)B（0，3），

∴BP=|x|，

∵以PB為直徑的圓能與坐標(biāo)軸相切，

∴①以PB為直徑的圓能與y軸相切，

∴|x|=|x|，

∴x=0（舍），

②以PB為直徑的圓能與x軸相切，

∴|x+3|=|x|，

∴x=﹣6﹣3或x=﹣6+3，

∴P（﹣6﹣3，﹣3+3）或P（﹣6﹣3，﹣3﹣3）．

故存在點(diǎn)P，坐標(biāo)為P（﹣6+3，﹣3+3）或P（﹣6﹣3，﹣3﹣3）時(shí)，以PB為直徑的圓能與坐標(biāo)軸相切．