【題目】已知:ABC為等邊三角形

1)若D為△ABC外一點,滿足∠CDB=30,求證:

2)若D為△ABC內一點,DC=3,DB=4,DA=5,求∠CDB的度數(shù)

3)若D為△ABC內一點,DA=4,DB=,DC=AB= (直接寫出答案)

【答案】(1)詳見解析;(2)150;(3

【解析】

(1)BD為邊作等邊△BDQ,易證△ABD≌△CBQAD=CQ再證∠CDQ=90.

(2) 把△ACD繞點C順時針旋轉60°得到△BCQ,如圖,連接DQ,根據旋轉的性質得∠DCQ=60°,CD=CQ=3QB=AD=5,則可判斷△CDQ為等邊三角形,所以DQ=4,∠BDE=60°,再利用勾股定理的逆定理證明△BDQ為直角三角形,∠QDB=90°,從而得到∠CDB=150°

(3)同②可得∠ADB=150°,解構造30°直角三角形即可求出AB.

(1)證明:以BD為邊作等邊△BDQ,連接QC

:ABC、△BDQ都是等邊三角形,

∴∠ABC=DBQ=BDQ=60°,BA=BC,BD=BQ,

∴∠ABD=CBQ,

在△ABD和△CBQ

∴△ABD≌△CBQ(SAS),

AD=CQ

又∵∠CDB=30,

∴∠CDQ=90

2)解: 把△ACD繞點C逆時針旋轉60°得到△BCQ,如圖,連接DQ,

∵△ABC為等邊三角形,

BA=BC,∠ABC=60°,

∴∠QCD=60°CD=CQ=3,QB=AD=5,

∴△CDQ為等邊三角形,

DE=4,∠DQC=60°,

在△BDQ中,∵DQ=3,BD=4,BQ=5,

DQ2+BD2=BQ2,

∴△DEC為直角三角形,∠QDC=90°,

∴∠CDB=60°+90°=150°

(3)AB=

解:把△ACD繞點A逆時針旋轉60°得到△BCQ,如圖,連接DQ

同可得②BQ= DC=,AD=AQ=DQ=4,DB=,

DQ2+BD2=BQ2,∠ADB=150°,

B點作BH垂直AD,交AD延長線于H,

∴∠BDH=30°,

BH=BD=,DH=3

AH=AD+DH=3+4=7,

AB===

故答案為:

練習冊系列答案
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